第11讲 一次函数与正比例函数（6种题型）-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第11讲 一次函数与正比例函数（6种题型） 【知识梳理】 一．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 二．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 三．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 四．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【考点剖析】 一．一次函数的定义 1．（2022春•卧龙区期中）下列函数关系中，y是x的一次函数的是（　　） A．y＝x﹣x2 B．y＝ C．y＝kx+b D．y＝﹣x 2．（2022秋•定远县校级月考）已知函数y＝（m+1）x2-|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意实数 3．（2022春•杨浦区校级期中）若函数y＝（k+3）x﹣2+k是关于x的一次函数，那么k的取值范围是 　 ． 4．当m取何值时，函数y＝（m+5）x2m﹣1+7x﹣3（x≠0）是一个一次函数？ 二．正比例函数的定义 5．（2022秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　） A．a≠4且b≠0 B．a≠﹣4且b＝0 C．a＝4 且b＝0 D．a≠4且b＝0 6．（2022秋•庐阳区校级月考）下列函数是正比例函数的是（　　） A．y＝x2+2 B．y＝ C．y＝﹣2x D．y＝ 7．（2021春•新化县期末）若函数y＝（m﹣3）x+m2﹣9是正比例函数，求m的值． 8．（2021春•饶平县校级期末）已知y＝（k﹣3）x是关于x的正比例函数， （1）写出y与x之间的函数解析式： （2）求当x＝﹣4时，y的值． 三．待定系数法求一次函数解析式 9．（2022秋•相山区校级期末）已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时，y＝﹣1，当x＝﹣2时，y＝3，求该一次函数的表达式． 10.一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（0，2），求k，b的值． 11．（2021春•江城区期末）已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣11，求k和b的值． 四．待定系数法求正比例函数解析式 12．（2021春•惠州期末）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．求：y与x的函数解析式． 13．已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝2，求当x＝3时，y的值． 14．（2022秋•迎江区校级期末）已知y+2与4﹣x成正比例，且x＝3时，y＝1． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当﹣2＜y＜1时，求x的取值范围． 15．（2021春•饶平县校级期末）已知y与x+1成正比例，且x＝﹣2时y＝2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设点P（a，4）在（1）中的