第07讲 空间向量的应用 所成角（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

第07讲 空间向量的应用---所成角 1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面和简单夹角问题； 2. 能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 1求异面直线所成的角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 PS ① 向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是； ② 与的关系相等或互补； 故，不要漏了“绝对值符号”. 2 求直线和平面所成的角 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. PS 当时，；当时，； 不管哪种情况，都有. 3求平面与平面的夹角 (1)二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线 ，，则为二面角的平面角，二面角的取值范围是. 如图： (2)平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于的二面角称为平面与平面的夹角. (3) 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. 【题型 1求异面直线所成的角 】 【典题】如图，是三角形所在平面外的一点，，且，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　 　． 【典题】 已知正四棱锥底面中心为，，分别为的中点，底面边长为，高为，建立适当的空间直角坐标系，求异面直线与所成角的正切值． 【点拨】向量所成角是个钝角，而异面直线与所成角是锐角，它们之间是互补，所以. 巩固练习 1. 如图，是直三棱柱，，点分别是的中点， 若，则与所成角的余弦值为　　． 【题型 2求线面角 】 【典题】 如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于 . 【点拨】 ① 本题根据“墙角模型”巧妙的构造一个长方体进而建系； ② 向量法求直线与面所成角的步骤 求直线的方向向量和平面的法向量； 求； 求与面所成角的正弦值. 巩固练习 在梯形中，，∠，，为的中点，线段与交于点(如图)．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角(如图)． 求证：∥平面； 线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【点拨】 ① 本题属于折叠问题，需要通过平几知识点确定各个量之间的关系，明确哪些量在折叠前后是否发生变化； ② 本题第二问已知直线与平面所成角正弦值为，由线面角公式 ，可知，先求出平面的法向量，再求，那关键点在于的位置； ③ 求向量的坐标，最直接的想法是设，这里有两种方法提供 (1) 几何法 由图可知，即. (2) 代数法 设，则， ，即. 但本题给到的解法，并没求点的坐标，而是先设再由“首尾相接法”得到，这样来得也很简单. 【题型3求二面角 】 【典题】 如图，四棱锥中，侧面底面，∥，， ，，，，分别为，的中点． 求证：∥平面； 求二面角的余弦值； 在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由． 【点拨】 本题的难点在于由平几知识点确定垂直关系建立直角坐标系，二面角的求法和线面角的运用按照一般的解题套路来就可以，第三问关于设元的常见方法多消化下！ 【典题】 如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面，∠，，，为的中点． 求证：∥平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 设为线段上的动点，二面角的平面角的大小为，求线段的长． 【点拨】 ① 第一问也可用非向量法求解:连接交于，易得是平行四边形，则点是的中点，所以，则∥平面； ② 作立体几何题是否都用“空间向量法”去思考呢？类似本题有问，拿到题目时要把全部内容审完，把个问题作个整体的思考，较容易发现、问用向量法较为容易，而发现第、问均与平面的法向量有关，则第问就开始利用向量法求解；若你觉得第、问你没有思路，选择放弃它们，那第问“非向量法”在思考量和时间上都来得更“实惠”些； ③ 第问中的线面角和第问的二面角均很难确定具体位置，故用空间向量法更容易. 巩固练习 在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则(　　) A． B． C． D． 【点拨】 ① 本题采取了“小题小作”，假设图形是正三棱柱，得到，那可排除，故答案就是； ② 求二面角的步骤 (1) 求出两个平面的法向量：平面的法向量和平面的法向量； (2) 求出； (3) 由图确定是锐角还是钝角求出. 一、解答题 1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 2．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1