第06讲 空间向量的应用 线面位置关系的证明（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲 空间向量的应用---线面位置关系的证明 1.空间中线与线的位置关系：平行、相交、异面. 2.空间中线与面的位置关系：线面平行、线在面内、线面相交. 3.空间中面与面的位置关系：面面平行、面面相交. 1 直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. (2)平面的法向量 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 2 判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明， 只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证 3 判定空间的垂直关系 (1)线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 (3)面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【题型 】线面、面面位置关系的证明 【典题1】 若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【典题2】 如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱． (1)在三棱柱中，求证：平面； (2)试判断直线是否与平面平行，并说明理由． 【典题3】 如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且． (1) 求证:直线∥平面； (2) 若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得∥平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由． 【典题4】 如图，四棱锥中．为矩形，，且．为上一点，且． (1)求证：平面； (2)分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由． 【点拨】 ① 对于高一非向量法与向量法的取舍，若第一问非向量法较容易解答，而第二问很难则第一问用非向量法，第二问用向量法；若第一问用非向量法较难，则建议从第一问就开始利用向量法，比如该题，不用纠结第一问用向量法要建系描点浪费时间，其实不然，因为第二问大多数情况下都使用向量法的； ② 第一问方法二中利用平面几何知识点怎么垂直关系，常见技巧是勾股定理逆定理、相似三角形、三角函数等； ③ 三点共线设元问题：“在线段上，可设中，常用向量共线的方法：，同时要注意变量的取值范围. 巩固练习 1. 已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量．若，则　　． 2 已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为　 　． 3. 如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：∥平面；(2)证明：平面平面． 4 . 如图，在中，分别是上的点，且∥，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由． 一、单选题 1．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．已知正方体，棱长为1，，分别为棱，的中点，则（    ） A．直线与直线共面 B．不垂直于 C．直线与直线的所成角为60° D．三棱锥的体积为 3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，，，截面与直线平行，与交于点E，则下列说法错误的是（     ）    A．平面 B．E为的中点 C．三棱锥的外接球的体积为 D．与所成角的正弦值为 4．已知是两个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知，，是球的球面上三点，，，，若异面直线与所成角的余弦值为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．如图，棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面正好经过点，则下列结论中正确的是（    ）    A．平面 B．球的体积为 C．球被平面截得的截面面积为 D．过点与直线，所成角均为的直线可作4条 7．如图，在三棱柱中，平面，是棱上的一个动点，则（    ）    A．直线与直线是异面直线 B．周长的最小值为 C．存在点使得平面平面 D．点到平面的最大距离为 三、填空题 8．已知m