第05讲 空间向量及其运算的坐标表示（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 空间向量及其运算的坐标表示 1. 理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算. 2.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明. 1 空间直角坐标系 (1) 空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. (2) 空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标. 2 空间向量的直角坐标运算律 ① 若， 则 , , ， ② 若 ，则. ③ 模长公式 若，则， ④ 夹角公式 ，，为钝角. ⑤ 两点间的距离公式:若 则 或 【题型 1 空间向量坐标运算】 【典题】（1） 已知：，，，，，求： (1)；(2)与所成角的余弦值． （2）已知空间四点在同一平面内，则实数　　． 巩固练习 1. 空间点，，，若，则的最小值为 。 2.已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 。 3. 若向量，且共面，则　 　． 4.已知，若四点共面，则实数为 . 【题型 2 】建立空间坐标系处理几何问题 【典题】（1） 的三个顶点分别是则边上的高长　 ． （2）如图，，原点是的中点，点，点在平面上，且则的长度为　 　． 【点拨】 ① 在空间坐标系中确定点的坐标是个硬骨头，基本方法是： (1) 根据题意求出各线段长度，比如； (2) 确定空间点坐标的意义，比如点的竖坐标与点到平面的距离有关； (3) 把空间问题平面化； (4) 留意坐标的正负. ② 两点间的距离公式:若， 则. （3） 如图，直角三角形所在平面与平面交于，平面平面，为直角，，为的中点，且，平面内一动点满足，则的取值范围是　 　． 【点拨】 ① 由平面平面可想到建立空间直角坐标系的方法，根据已知条件可求其他角、边的大小，从而得到各点的坐标； ② 而由点确定，能否求出其轨迹呢？而利用建坐标系的方法，较容易得到其轨迹(学圆锥曲线后也可知轨迹是抛物线)； ③ 从数量积坐标运算的角度得，从数量积的定义，从而得到点的轨迹； ④ 由坐标运算易求最小值化为的最小值，这里有函数思想，注意函数的定义域； ⑤ 本题若想用非坐标的方法解答： ， 而得不到点的轨迹，较难求出的范围！ 巩固练习 1. 如图三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为　 ． 2. 已知点、，，则中角的大小是　 ． 3 . 已知空间三点，，则以，为邻边的平行四边形的面积为　 　． 4. 已知长方体中，，空间中存在一动点满足||记，，则(　　) A．存在点使得 B．存在点使得 C．对任意的点有 D．对任意的点有 5. 如图，已知点在正方体的对角线上，∠．设λ则的值为　 ． 6.三棱锥中两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足则和所成角余弦值的取值范围是　 ． 一、单选题 1．（2023·江西·校联考二模）在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 2．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（    ）    A．的最小值为2 B．四面体的体积为 C．有且仅有一条直线与垂直 D．存在点，使为等边三角形 三、解答题 3．（湖北·高考真题）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． （1）求cos，的值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N到AB和AP的距离． 4．（上海·高考真题）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点． （1）求 的模； （2）求cos〈，〉的值； （3）求证：A1B⊥C1M. 5．（2008·江苏·高考真题）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围． 四、填空题 6．（2022·