第04讲 建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 1．了解空间直角坐标系，能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标． 2．掌握空间两点间距离公式. 3．会用向量的坐标解决一些简单的几何问题． 1空间向量的直角坐标系 (1) 空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫叫. (2) 空间向量的直角坐标运算律 ① 若，， 则，， ， ， ， ， ② 若 ，则. ③ 模长公式 若，则. ④ 夹角公式 为钝角. ⑤ 两点间的距离公式 若 则 或 2 建立直角坐标系的方法 (1) 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 (2) 利用线面垂直关系构建直角坐标系 (3) 利用面面垂直关系构建直角坐标系 3 确定空间直角坐标系中点坐标的方法 求点的坐标和设点坐标的方法是一致的，常见方法具体如下 射影法 看所求点分别在轴的投影对应的数值. 如求点横坐标，过点作平面，再过点作轴，看点对应数值即是； 或直接构造长方体，即求出线段长度，再注意下正负号可得点坐标. 公式法 对中点、等分点、重心等点可用公式求解； 若点， 则线段的中点坐标；三角形的重心； 点在线段上且，则. 向量法 利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标； 利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标； 三点共线问题：如若点，若点在线段上，则可设，利用待定系数法求出！ 几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质. 待定系数法：设点，利用已知条件求出. (6) 函数法：常用于设动点坐标； 动点在定直线上，把投影到空间坐标系中某个平面，如投影平面，得到投影直线方程，从而达到动点投影中的关系. 以上的方法其实也是相通的，也还存在其他一些灵活的处理方法(比如平移法等)，都需要理解再灵活运用. 【题型 1 建立直角坐标系的方法】 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 【典题1】 如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 利用线面垂直关系构建直角坐标系 【典题2】 如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．求二面角的平面角的正切值． 利用面面垂直关系构建直角坐标系 【典题3】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面．求面与面所成的二面角的余弦值． 【点拨】 ① 同一道题目中建系的方法不是唯一，是优是劣取决于关键点的坐标是否好求； ② 建系最根本的想法是找到两两垂直的三线，多关注题中有垂直关系的量， (1) 垂直关系：长方体模型、等腰三角形的三线合一、菱形对角线相互垂直等； (2) 若有线面垂直，则可考虑该面为平面之一； (3) 若有面面垂直，则可考虑两面为平面其中两个. ③ 若是分别以所所在直线为轴建立空间直角坐标系，则要先证明三线两两垂直，需要严谨些，不能想当然. 巩固练习 1.如图，在直三棱柱中，，为的中点，，分别是棱，上的点，且，如何建立空间直角坐标系呢？ 2 .如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，如何建立空间直角坐标系呢？ 3 .如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？ 【题型 2 确定空间直角坐标系中点坐标的方法】 情况1 求点的坐标 【典题1】 在平行六面体中，底面是矩形，， 平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标. ； ； ； 若为上点，且写出坐标； 【点拨】 射影法：看所求点分别在轴的投影对应的数值； 一般地，点在平面或易得点在轴的投影均适合射影法； ② 公式法：对中点、等分点、重心等点可用公式求解； ③ 向量法：常用于涉及到平行、垂直、共线等向量关系中的点. 各方法之间也是相通的，需要理解再灵活运用. 【典题2】 如图，矩形中，，为的中点，以为折痕把四边形折起，使达到的位置，且，，分别为，，的中点．建系求点的坐标. 情况2 设点坐标 【典题3】 长方形中，，是中点(图)，将沿折起，使得(图)在图中 (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由． 【点拨】 ① 本题在处理“点在线段上”这一条件时，想设点找到的关系，介绍了向量法和函数法，而向量法引入变量表示，而函数法变量是，用其表示便可； ② 有时也可用几何法相似求解， 比如在方法中求中的关系， 如下图，过点分别作轴，轴， 由得. 巩固练习 1 (★★) 一张平行四边形的硬纸中，.沿它的对角线折起，使点到达平面外点的位置.若，建系求点的坐标. 【答案】 ，如图建系，则. 2(★★) 四棱锥中，，，侧面为等边三角形