第03讲 空间向量基本定理（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 空间向量基本定理 1．掌握空间向量基本定理. 2．会用基底法表示空间向量. 3．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想． 知识点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c ，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做基向量． 知识点二　空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 . 知识点四　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔ . 知识点五　求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【题型 1 空间向量基本定理的理解】 【典题】（1） 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( ) A． B． C． D． （2）已知非零向量，，且不共面．若，则 . （3） 如图，在三棱锥中，点分别是的中点，点在棱上，且满足，若，则 ( ) A． B． C． D． 巩固练习 1.已知为空间四点，且向量不能构成空间的一个基底，则一定有( ) A．共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 2. (多选题)下面四个结论正确的是( ) A．空间向量，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．任意向量满足 3. 如图所示，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则　( ) A． B． C． D． 4. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则　　) A． B． C． D． 【题型 2 】空间向量基本定理的应用 【典题】（1）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证平面. （2）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段于点，若，求证：为定值，并求出该定值． 【巩固练习】 1. 如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点为的重心，的延长线交于点，连接．设． (1)用表示；(2)证明：． 2. 如图，在棱长为的正方体中分别为，的中点，点在上，且 求证:；求与所成角的余弦值. 3. 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 4. 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等， 求证: 这个四面体相对的棱丙两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且. 求证 . 5.已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值． 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2007·安徽·高考真题）在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则_________．（用、、表示） 4．（2023·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______． 5．（2023·陕西·统考一模）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则______． 6．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝，则x＋y＋z＝ _______． 一、单选题 1．（2022秋·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期末）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·安徽蚌埠·高二统考期末）在下列命题中正确的是（    ） A．已知是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 B．若所在的直线是异面直线，则不共面 C．若三个向量两两共面，则共面 D．已知A