第02讲 空间向量的数量积运算（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 空间向量的数量积运算 1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角 2.掌握空间向量数量积的性质及运算律 3.能利用空间向量的数量积判断两个向量的垂直及平行 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点 作 则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作:. 2向量的模 设则有向线段 的长度叫做向量的长度或模，记作. 3 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 4 空间向量数量积的性质 1 ② 5 空间向量数量积运算律 ① ② (交换律) ③ (分配律) ④不满足乘法结合律: 【题型 1 数量积的运算】 【典题】（1）如图，在三棱锥中，，，分别是的中点，则　　． （2）已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点， 则( ) A． B． C． D． 巩固练习 1.平面上有四个互异点，已知，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 2. 在空间四边形中，，　( ) A． B． C． D．不确定 3.如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为 . 4. 在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当最短时， . 5. 已知三棱锥的顶点在平面内的射影为点，侧棱，点为三棱锥的外接球的球心，，，已知，且，则球的表面积为　　 ． 【题型 2 数量积的应用】 【典题】（1） 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知求的长． 【点拨】 ① ； ② 方法一利用了二面角的概念和平几的知识进行求解，方法二直接利用向量的运算显得更简洁，也体现了向量的威力！ （2）已知：正四面体(所有棱长均相等)的棱长为，分别是四面体中各棱的中点，求，的夹角． 巩固练习 1. 在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱中，求的长度. 2. 如图，三棱锥各棱的棱长都是点是棱的中点，点在棱上，且，记，，．求的最小值． 3. 如图所示，在正方体中，求异面直线与所成的角． 4. 如图，在平行四边形中，，∠，将它沿对角线折起，使与成角，求间的距离． 5. 已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值． 6. 在三棱锥中，已知侧棱，，两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形是锐角三角形． 7. 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，． (1)求侧棱的长； (2)分别为的中点，求及两异面直线和的夹角． 【题型3 数量积的最值问题】 【典题】已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为(　　) A． B． C． D． 巩固练习 1. 已知球内切于正四面体且正四面体的棱长为2线段是球的一条动直径(是直径的两端点)，点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是　 　． 2. 已知球是棱长为的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是　　． 3. 如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为　 　． 一、单选题 1．（2004·全国·高考真题）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 2．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（    ） A． B．. C． D．    3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 4．（2021·全国·统考高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 5．（2023·全国·校联考模拟预测）已知正方体的棱长为，，，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值是 B．当时，为线段的中点 C．当时，平面 D．以为球心，为半径的球面与该正方体的表面形成的交线长为 三、填空题 6．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知，对任意都有，则实数的最小值为______. 7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.    8．（2023·山东·模拟预测）甲烷分子的四个氢原子分别位于棱长为1的正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，则__________. 一、单选题 1．（2023秋·广东惠州·高二统考期末）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影