第08讲 空间向量的应用 距离问题（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 空间向量的应用--距离问题 1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题； 2. 能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 利用空间向量法求距离问题 (1)点间的距离 . (2)点到直线距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为 PS 公式推导 如图，. (3)点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即. PS 公式推导 如图，. (4)直线平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离. (5) 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求. 【题型 1点到点的距离 】 【典题】（1）已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是 . （2）正方体的棱长为，动点在线段上，动点在平面上，且平面． 当点与点重合时，线段的长度为　 　； 线段长度的最小值为　　． 【点拨】 ① 线段的长度为，利用空间向量法使得几何问题“代数化”，较几何法更容易处理这动点问题； ② 本题的变化源头是“的位置”，在第二问求长度的最小值，在引入参数中设，较为合理. 巩固练习 已知为轴上一点，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为 . 【题型 2 点到线的距离】 【典题】 为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点到的距离为　　． 巩固练习 1. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为 . 2. 已知直线过定点，且(0，1，1)为其一个方向向量，则点到直线的距离为 . 【题型3 】点到面的距离 【典题】 如图，四棱锥中，底面为菱形，，平面，，，为中点，在棱上，，点到平面的距离为　 　． 【点拨】 ① 求点的坐标，解题中几何法较易求得，这需要审题中注意各量之间的关系；也可以用代数法求得，如下： 设，， 则)，解得，， ，)， ，，解得，； ② 求点到平面的距离的解题步骤 求平面的法向量(0)； 在平面内选一点，求其与点的向量)； 利用公式(向量在法向量上的投影绝对值)求所求距离，. 【典题】 已知，分别是正方形边，的中点，交于，垂直于所在平面． 求证：平面．若，，求点到平面的距离． 【点拨】 求点到平面的距离方法有很多种， ① 直接法：若能确定点到平面的垂线段当然最好了！ ② 向量法：若空间直角坐标系较容易建立，各关键点的坐标易求，可考虑向量法；本题中平面，矩形都是有利条件； ③等积法：当相关三棱锥的体积和侧面三角形的面积易求，可考虑等积法；本题中的和均易求; ④ 间接法：若存在过点的直线与平面平行，可考虑能否在直线上找到一点，而它到平面的距离易求些；本题中“求到面的距离”转化为“求到面的距离”； 巩固练习 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点． 求证平面； 求二面角夹角的正弦值； 线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 一、解答题 1．如图，已知长方体，直线与平面所成的角为，垂直于E，F为的中点． (1)求异面直线与所成的角； (2)求平面与平面所成的二面角（锐角）的大小； (3)求点A到平面的距离． 2．在棱长为4的正方体中，O是正方形的中心，点P在棱上，且． (1)求直线AP与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)设O点在平面上的射影是H，求证：； (3)求点P到平面的距离． 3．如图，已知两个正四棱锥与的高都是2，． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的角； (3)求点到平面的距离． 4．如图，已知两个正四棱锥与的高分别为1和2，． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的角； (3)求点到平面的距离． 5．已知正四棱柱，E为中点，F为中点． (1)证明：为与的公垂线； (2)求点到面的距离． 6．在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，M、N分别为的中点． (1)证明：； (2)求二面角的大小； (3)求点B到平面的距离． 7．如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动． (1)求证：； (2)当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离； (3)当AE为何值时，平面与平面所成的角为？ 8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． （1）求cos，的值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N到AB和AP的距离