专题08 二次函数的应用-【暑假预习课堂】2023年新九年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（人教版）

数学八年级下暑假预习专题训练 专题八 二次函数的应用 【专题导航】 目录 【考点一 二次函数的最值】.........................................1 【考点二 根据实际问题列二次函数关系式】...........................3 【考点三 二次函数的实际应用】.....................................5 【聚焦考点1】 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 【典例剖析1】 【典例1-1】已知二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，记y1、y2的最小值分别为m、n． （1）若m+n＝0，求证：对任意的实数x，都有y1+y2≥0； （2）若m，n均大于0，且mn＝2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值． 【典例1-2】如图，在矩形ABCD中，BC＝6cm，AB＝4cm，S是AD中点，点E以每秒2cm的速度从点B出发沿折线BS﹣SD﹣DC匀速运动，同时点F以每秒1cm的速度从点C出发沿CB运动．设点E、F出发t秒（0＜t＜6）时，△EBF的面积为ycm2． （1）求y与t的函数关系式； （2）当t为何值时，y取得最大值，并求出此最大值． 针对训练1 【变式1-1】当k分别取﹣1，1，2时，函数y＝（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值。 【变式1-2】如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别为边BC，CD上的点，且CE＝CF． （1）设CF＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式； （2）当x为多少时△AEF面积能够取得最大值，最大值是多少？ 【能力提升1】 【提升1-1】定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它们的相关函数为y＝． （1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值； （2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣． ①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值； ②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值． 【提升1-2】如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，求△MAN的面积的最小值． 【提升1-3】某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格，经调查发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，在此价格基础上，若涨价5元，则每月销售量将减少150件，若每月销售y（件）与价格x（元/件）满足关系y＝kx+b． （1）确定k，b的值； （2）为了使每月获得利润为1920元，问商品价格应是每件多少元？1920元是最大利润吗？ 【聚焦考点2】 根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【典例剖析2】 【典例2-1】有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．求这条抛物线的解析式． 【典例2-2】某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息： ①每个零件的成本价为40元； ②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元； ③实际出厂单价不能低于51元． 根据以上信息，解答下列问题： （1）当一次订购量为 　≥550　个时，零件的实际出厂单价降为51元． （2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元