第三部分 思想方法(二)转化思想-【暑假总复习】2023年七年级初一数学暑假衔接期末复习（北师大版）

$' ! 思想方法!二" ! 转化思想 当一个问题不容易解决时!可充分利用题目中 的已知条件!把问题转化为另一个比较容易解决的 问题!从而达到化繁为简"化难为易"化抽象为直观 的目的!这种解题方法称为转化的思想方法 ! 转化的思想方法在解题中有着广泛的应用!如 把多项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相 乘%把说明两条直线的位置关系转化为说明两个角 的数量关系!把说明两条线段相等转化为说明两个 三角形全等等 ! 一#转化思想在整式运算中的应用 !例 ! " ! 化简求值%! &"0" "! &"!" " !4" ! "! . " ! ! /"!. " # $其中 "1! . "/ ! !解析" ! 原式 1#&" # !4!4" # 04"! # .)" # ! 3"0. $ 1#&" # !4!4" # 04"!.)" # 03"!.1.," !.+ !当 "1! . "/ 时!原式 1.,- # ! . "/ $ !.+1 ! #. # ! !方法规律总结" ! 在求一个比较复杂的整式的 值时#如果直接把已知字母的值代入则解题过程较 为繁琐#因此整式求值的一般方法都是先通过整式 运算%去括号%合并同类项等方法把原式转化为一个 比较简单的整式#然后再代入求值#这样既简化了解 题过程#又有效地避免了解题过程中由于笔误等原 因造成的错误 ! 二#转化思想在代数型推理问题中的应用 !例 " " ! 请你说明%两个连续奇数的平方差一定 能被 3 整除 ! !分析" ! 先根据'两个连续奇数的平方差(建立 整式模型!再设法把这个整式化简为 3 与一个整数 乘积的形式 ! !解答" ! 设 ' 为任意一个整数$则 #'0. 为一 个奇数$ #'!. 为与其相邻的一个奇数 ! 则! #'0. " # ! ! #'!. " # 1/' # 0/'0.! ! /' # ! /'0. " 1/' # 0/'0.!/' # 0/'!.13'! 因为 ' 为整数$则 3' 能被 3 整除 ! 即两个连续奇数的平方差一定能被 3 整除 ! !方法规律总结" ! 本题有两个转化过程# " 把 题目中的文字语言转化为数学符号语言#即根据题 意建立整式模型( # 根据数的整除的概念#问题进一 步转化为* " 中所得的整式能否通过适当的变形转 化为 3 与一个整数乘积的形式 ! 三#转化思想在几何型推理问题中的应用 !例 # " ! 如图所示$已知点 + ) . 都是 ( ()* 中 )* 边上的点$若 ()1(* $ (+1(. $则 )+1*. $ 为什么( !分析" ! 因为 ( ()* 和 ( (+. 是同高的等腰 三角形!根据等腰三角形'三线合一(的性质!可作出 等腰三角形底边上的高这条辅助线!然后根据等腰 三角形的对称性说明 ! !解答" ! 如图$过点 ( 作 (/ ) )* $垂足为 /! 因为 ()1(* $ (/ ) )* $所以 )/1*/! 因为 (+1(. $ (/ ) +. $所以 +/1./! 所以 )/!+/1*/!./ $即 )+1*.! !方法规律总结" ! 本题的解法较多#其中该解 法比较简单#根据等腰三角形的对称性#在作出辅助 线 (/ 后#因为 )+1)/!+/ # *.1*/!./ #所以 问题转化为说明 )/1*/ 和 +/1./ #而这个转化# 全赖于辅助线 (/ 的作出 ! 四#转化思想在图象问题中的应用 !例 $ " ! 小亮同学骑车上学$路上要经过平路) 下坡)上坡和平路!如图" ! 若小亮上坡)平路)下坡的 $( ! 速度分别为 D . ) D # ) D " $且 D . * D # * D " $则小亮同学骑 车上学时$离家的路程 7 与所用时间 6 的关系图象可 能是 ! !! " !解析" ! 由于小亮骑车上学时!在各段路上速 度各不相同!因此离家的路程 7 与所用时间 6 的图象 应是一条折线!由此排除 * %因为随着时间的增加! 小亮离家的路程越来越远!所对应的图象应逐渐升 高!由此排除 $ ! ' %故选 (! !方法规律总结" ! 在小亮上学的过程中#其图 象有两个比较明显的特征#一是走得越快所对应 的线段上升得越快(二是因为小亮一直向前走#所 通过的路程逐渐增加#所对应的线段则逐渐升高# 于是选择图象的问题转化为观察哪个图象具备上 述特点 ! 五#转化思想在概率问题中的应用 !例 % " ! 向如图所示的正 三角形区域扔沙包!区域中每 一个小正三角形除颜色外完全 相同"$假设沙包击中每一个小 正三角形是等可能的$扔沙包 一次$击中阴影区域的概率等于 ! !! " $% . ) !!!!! '% . / (% " 3 !!!!! *% & 3 !解析" ! 因为阴影区域在三角形面积中所