第二部分 专题复习(三)三角形-【暑假总复习】2023年七年级初一数学暑假衔接期末复习（北师大版）

$* ! 专题复习!三" ! 三角形 !! 三角形是平面几何中最基本的图形!是其他多 边形的基础!因此三角形各边之间的关系"三角形内 角和定理"三角形全等等知识一直是中考的必考内 容!还常与后面将会学习的三角形相似"函数等知识 相结合!以综合题的形式考查 ! 考点 ! ! 三角形内角和定理 !例 ! " ! 在 ( ()* 中$已知 & (! & )1"+7 $ & *1/ & ) $请你求各角的度数并判断这个三角形 的形状 ! !分析" ! 本题中的两个已知条件都与 & ) 有 关!因此其他两角都可用 & ) 表示!从而把三个未知 数转化为 . 个未知数 ! !解答" ! 设 & )1" $则 & (1"0"+7 $ & *1/"! 根据三角形内角和定理$得 "0"+70"0/"1 .3+7! 解得 "1#&7 $所以 "0"+71#&70"+71&&7 $ /" 1#&7-/1.++7! 即三角形各角的度数分别为 & (1&&7 $ & )1 #&7 $ & *1.++7! 因为 & *1.++7 , 4+7 $所以这个三角形是钝角 三角形 ! !方法规律总结" ! 本题提醒我们两点* " 判断 三角形的形状时#只需把最大角的度数与 4+7 比较即 可得出结论( # 在三角形中求角时#三角形内角和定 理既是一个至关重要的%隐含的已知条件#也是列方 程求角的度数时的一个基本的等量关系 ! 考点 " ! 三角形各边之间的关系 !例 " " ! ! . "某等腰三角形有两条边长分别为 / 和 & $则这个等腰三角形的周长为 ! !! " $%." 或 ./ !!!!! '%./ (%." *%4 ! # "某等腰三角形有两条边长分别为 # 和 & $则 这个等腰三角形的周长为 ! !! " $%.# 或 4 !! '%.# !! (%4 !! *%, !解析" ! # . $当边长为 / 的边是等腰三角形的 底边时!三边的长度分别为 / ! & ! & !符合组成三角形 的条件!则三角形的周长为 /0&0&1./ %当边长为 / 的边是等腰三角形的腰时!三边的长度分别为 / ! / ! & !符合组成三角形的条件!则三角形的周长为 /0 /0&1." !选 $! #$当边长为 # 的边是等腰三角形的底边时!三 边的长度分别为 # ! & ! & !符合组成三角形的条件!则 三角形的周长为 #0&0&1.# %当边长为 # 的边是等 腰三角形的腰时!三边的长度分别为 # ! # ! & !不符合 组成三角形的条件!选 '! !方法规律总结" ! 反思解题过程应清楚两点* " 两小题虽然只是个别数据不同#但却有着本质的 区别#即! . "中长为 & 的边既可以作底也可以作腰# 而! # "中长为 & 的边只能作腰#否则不符合组成三角 形的条件 ! # 在等腰三角形中#当给出的边没有说明 是底边还是腰时#一定要注意分类讨论 ! 考点 # ! 全等三角形的应用 !例 # " ! 小聪说%过三角形一边上的两个顶点向 这条边中线所在的直线作垂线$得到的两条垂线段 相等 ! 你认为小聪的说法正确吗( 为什么( !解析" ! 本题首先应根据题意画图!如图所示! 已知 (+ 是 ( ()* 的中线! *. 是 * 点到直线 (+ 的垂线段! )/ 是 ) 点到直线 (+ 的垂线段!因 为 (+ 是 ( ()* 的中线!所以 )+1*+! 因为 )/ ) (+ ! *. ) (+ !所以 & )/+1 & *.+ 14+7! 又因为 & )+/1 & *+. !所以 ( )+/ +( *+. # $$< $ ! 所以 )/1*.! $! !方法规律总结" ! 本题属于利用全等三角形说 明两条线段相等#其求解需突破两点* " 能根据文字 语言画出图形并标注字母#由于这是解题的重要前 提#因此一定要慎之又慎#画出图形后还要反复验 证( # 在寻找全等三角形时#要选择既分别含有线段 )/ % *. 又有可能全等的三角形#当这样的三角形图 中没有时#还要考虑作辅助线构造全等三角形 ! !例 $ " ! 小丽和同学们计划测量一条小河的宽 度 ! 假设小河的两岸互相平行$如图所示$如果小丽 只有一架测角器和一把足够长的米尺$她能测量出 河的宽度吗( 请你帮助她设计一个测量方法并说明 理由 ! !解析" ! 本题中!测量的基本思路是构造全等 三角形!即测量方法为) # . $在河的对岸通过目测任选一点 ( #以醒目或 便于观察为目的$% #$利用测角器在岸边找出一点 ) !使 () 垂直 于河岸% # " $在河的岸边另选一点 + !利用测角器测出 & )+( 的度数% # / $在 () 的延长线上选一点 * !使 & )+*1 & )+(! 测出 )* 的