第三部分 思想方法(一)分类讨论思想-【暑假总复习】2023年七年级初一数学暑假衔接期末复习（北师大版）

$$ ! 第三部分 思想方法篇 思想方法!一" ! 分类讨论思想 在所研究的问题中!如果某个已知条件所包括 的情况不止一种!而每种情况所对应的结论各不相 同时!需要按可能出现的各种情况分别讨论并得出 相对应的结论!这种解决问题的思想方法称为分类 讨论!它是数学中一种非常重要的解题方法 ! 分类讨论一般遵循下列原则)# . $对问题分类 时!分类标准要统一%#$分类要完全!不重复!不遗 漏%# " $当分类不能一次完成时!必须逐级进行分类 ! 一#分类讨论在整式求值中的应用 !例 ! " ! 先化简$再求值%! & & 0"& " " 2& " ! ! & 0. " # $其中 & 为有理数$且在数轴上表示 & 的点 9 到原点的距离为 "! !解析" ! # & & 0"& " $ 2& " ! # &0. $ # 1& # 0" !& # !#&!.1!#&0# !当 9 点在原点右侧时! & 1" !原式 1!#-"0#1!/ %当 9 点在原点左侧 时! &1!" !原式 1!#- # !" $ 0#13! 综上所述)原式的值是 !/ 或 3! !方法规律总结" ! 因为题目中没有告诉 9 点 与原点的位置关系#而位置关系的不同#得到的计算 结果也不同#因此要分 9 点在原点左侧或在原点右 侧这两种情况讨论 ! 二#分类讨论在整式运算中的应用 !例 " " ! 如果多项式 4" # 0. 加上一个单项式 9 后能成为一个完全平方式$请你求这个单项式 9! !解析" ! 如果一个整式能表示为另一个整式的 平方的形式!则这个整式叫做完全平方式 ! 当这个完全平方式是一个单项式的平方时!则 4" # 0.09 是一个单项式!所以 91!. 或 91!4" # % 当这个完全平方式是一个二项式的平方时) " 当这个完全平方式形如 904" # 0. 时!因为 4" # 1# * 4 # " # * . !所以 91 # 4 # " # $ # 1 3. / " / % # 当这个完全平方式形如 4" # 090. 时!因为 4" # 1 # "" $ # !所以 91N# * "" * .1N)" % $ 当这个完全平方式形如 4" # 0.09 时! 9 不 是一个整式!所以这种情况不存在 ! 综上所述! 91!. 或 91!4" # 或 91N)" 或 91 3. / " / ! !方法规律总结" ! 本题的解题技巧体现在理解 概念和运用方法上#理解概念是指对多项式%单项 式%完全平方式等概念的理解(运用方法是指能按完 全平方式的类型进行分类#并且能在分大类的基础 上逐级分类 ! 三#分类讨论在有关选择方案问题中的应用 !例 # " ! 某商厦在 & 月 . 日举行促销优惠活动$ 当天到该商店购买商品有两种方案$方案一%用 .)3 元购买会员卡成为会员后$凭会员卡购买商店内任 何商品$一律按商品价格的 3 折优惠'方案二%若不 购买会员卡$则购买商店内任何商品$一律按商品价 格的 4!& 折优惠 ! 已知小敏 & 月 . 日前不是该商店 的会员$设小敏所购物品的价格之和为 " !元"$按方 案一实际支付金额为 %. !元"$按方案二实际支付金 额为 %# 元$ ! . "分别写出 %. 与 " 和 %# 与 " 的关系式' ! # "当小敏所购买商品的价格之和是多少时$两 种方案的优惠情况相同( ! " "你认为哪种方案更合算!直接写出答案"( !分析" ! 按方案一可列出 %. 与 " 的关系式!按 方案二可列出 %# 与 " 的关系式!然后通过列方程即 可求出所购买商品的价格之和是多少时两种方案的 优惠情况相同 ! !解答" ! ! . " %. 1+!3"0.)3 $ %# 1+!4&" ' $% ! ! # "根据题意$得方程 +!3"0.)31+!4&" $解得 "1..#+! 答%所购买商品的价格之和是 ..#+ 元时$两种 方案的优惠情况相同' ! " "当购买商品的价格低于 ..#+ 元时$方案二 更合算'当购买商品的价格等于 ..#+ 元时$两种方 案优惠情况相同'当购买商品的价格大于 ..#+ 元 时$方案一更合算 ! !方法规律总结" ! 本题的解题过程中有两次运 用分类讨论的方法#一是在根据两个方案列关系式 时(二是在分析哪个方案更合算时 ! 由于这类问题题目 都较长#所以认真阅读理解方案是解题的重要前提 ! 四#分类讨论在有关垂线问题中的应用 !例 $ " ! 在 ( ()* 中$ ()1(* $直线 9: 垂直 平分 () 交 () 于 + 点$交 (* 所在的直线于 . 点$ 若 & (.+1/+7 $请你求 & .)* 的度数 ! !分析" ! 因为直线 9: 与 (* 所在的直线相交 于