1.3.1 空间直角坐标系（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.1 空间直角坐标系 （一）、回顾平面向量坐标表示及其运算 已知=(,)，=(,)，写出下列向量的坐标表示 +=(+，+) ；-=(-，-)；=(，)；= //=0；⊥=0 设，则或 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、， 那么； cos =（） （二）、学习空间向量 知识点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 用坐标表示空间向量的步骤如下: 重难点题型突破1 空间向量的坐标表示 例1．（1）、（2022·四川成都·高二期中（理））已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（       ） A． B． C． D． （2）、（2022·全国·高二专题练习）平行六面体中，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、（2023春·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________． 重难点题型突破2空间向量的坐标计算 例2．（1）、（2023秋·天津·高二校联考期末）已知向量，，则向量__________． （2）、（2023春·安徽合肥·高二合肥市第五中学校考期末）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、（2023秋·广东汕尾·高二统考期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、（2022秋·安徽阜阳·高二校考阶段练习）（多选题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破3 空间向量的模的计算 例3．（1）、（2023秋·浙江台州·高二期末）若向量，且，则（    ） A．2 B． C． D． （2）、（2023秋·高一单元测试）（多选题）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为2 D．的最大值为4 【变式训练3-1】、（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）设空间向量，，若，则＝______． 【变式训练3-2】、（2023春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）向量的模__________. 例4．（2022·山东枣庄·高二期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 【变式训练4-1】、（2022·全国·高二）已知空间三点A(1，-1，-1)