专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值 【核心素养】 1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势，凸显数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养． 2.与函数的图象、曲线方程、导数的几何意义相结合，凸显数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养． 知识点一 函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 知识点二 函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 常考题型剖析 题型一：函数极值的辨析 【典例分析】 例1-1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 例1-2.（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【规律方法】 1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解． 2.f(x)在x＝x0处有极值时，一定有f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x1<x0<x2时，f(x1)·f(x2)<0，才可确定f(x)在x＝x0处取得极值． 3.易错提醒 （1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同； （2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 【变式训练】 变式1-1.（2023·河北·校联考三模）已知下列各选项是函数的导函数的图象，则是函数的极小值点的是（    ） A．   B．   C．   D．   变式1-2.（2023·上海松江·校考模拟预测）设a、b、c、d，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）      A．， B．， C．， D．， 题型二：已知函数求极值点的个数 例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知是定义域为的偶函数，当时，．那么函数的极值点的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 例2-2.（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【易错提醒】 极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 【变式训练】 变式2-1.（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．若，则 D．直线是曲线的切线 变式2-2.（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知正数，满足，则函数（）的极小值点的个数为______． 题型三：已知函数求极值（点） 【典例分析】 例3-1．（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）若的一个极值点是，则的极大值为（    ）． A． B． C． D． 例3-2．（2023·全国·高三对口高考）设函数，则的极大值点和极小值点分别为（    ） A．，4 B．4， C．，2 D．2， 【方法技巧】 (1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,