专题13 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性-【高中第一步】2023年暑假初升高数学完美衔接精品课（人教A版2019）

【高中第一步】2023年暑假初升高完美衔接精品课（人教A版2019） 专题13 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性 考点目录 考点一 函数奇偶性的定义与判断 考点二 由函数奇偶性求值或解析式 考点三 根据函数的奇偶性解不等式 考点四 函数奇偶性中的参数问题 考点五 抽象函数的奇偶性 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 一、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数. 注：（1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有. 二、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数. 三、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性. 若=-，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 四、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 考点一：函数奇偶性的定义与判断 例1：（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是. 故选：C 考点二：由函数奇偶性求值或解析式 例2：（2023秋·河南三门峡·高一统考期末）已知函数的图象关于原点对称，且当时，．    (1)试求在上的解析式； (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间． 【详解】（1）∵的图象关于原点对称， ∴是奇函数，∴． 又的定义域为，∴，解得． 设，则， ∵当时，， ∴，∴， 所以； （2）由（1）可得的图象如下所示： 考点三：根据函数的奇偶性解不等式 例3：（2023·高一课时练习）设函数是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围. 【答案】. 【分析】根据给定条件，确定函数在R上单调递减，再借助单调性解不等式作答. 【详解】因为上的奇函数在上是减函数，因此在上是减函数，在上是减函数， 于是不等式化为：，解得， 所以实数a的取值范围是. 考点四：函数奇偶性中的参数问题 例4：（2023秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（    ） A． B． C． D． 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，且，故，所以， 所以，则. 故选：B. 考点五：抽象函数的奇偶性 例5：（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）设函数是定义在上的增函数，对于任意都有． (1)证明是奇函数； (2)解不等式． 【详解】（1）证明：令，则由，得，即； 令，则由，得， 即得，故是奇函数． （2），所以，则， 即，               因为， 所以，所以，           又因为函数是增函数，所以，所以或． 所以x的解集为． 考点一：函数奇偶性的定义与判断 一、单选题