第04讲 认识无理数与平方根 （6种题型） -【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第04讲 认识无理数与平方根（6种题型） 一、无理数 无限不循环小数叫做无理数 常见的无理数类型： （1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356··· （2）看似循环而实际不循环的小数（有规律），如0.1010010001···（相邻两个1之间0的个数逐次加1）；0.12345678···（连续不断地依次写正整数）。 （3）有特定意义的数，如：π=3.14159265··· 二、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根（也叫二次方根）。求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 三、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系： （1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 四、平方根的性质 五、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【考点剖析】 题型一：无理数的概念 例1.下列各数中，是无理数的是（　　） A．﹣6.94 B． C．0 D． 【变式】在3.14，2，﹣1.5，π，中，是无理数的数是 　　． 题型二、平方根和算术平方根的概念 例2、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值． 【变式1】下列说法错误的是（　　） A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）没有平方根．（ ） （2）．（ ） （3）的平方根是．（ ） （4）是的算术平方根．（ ） 例3、 填空： （1）是 的负平方根． （2）表示 的算术平方根， ． （3）的算术平方根为 ． （4）若，则 ，若，则 ． 【变式1】下列说法中正确的有（ ）： 3 3是9的平方根． ② 9的平方根是3． ③4是8的正的平方根． ④ 是64的负的平方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4.为何值时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】使代数式有意义的的取值范围是______________． 【变式2】已知，求的算术平方根． 题型三、平方根的运算 例5、求下列各式的值． (1)； (2)． 题型四、利用平方根解方程 例6、求下列各式中的x值， （1）169x2=144 （2）（x﹣2）2﹣36=0． 【变式1】求下列各式中的. （1） （2）； （3） 【变式2】求x的值：（x﹣2）2=4． 题型五、平方根的综合应用 例7.若x，y为实数，且满足．求的值． 【变式1】若，求的值． 【变式2】已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列问题： （1）求a﹣b的值； （2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根． 例8、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片 使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． （1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由． （2）求阴影部分的面积． 【变式2】小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2． (1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽； (2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 题型六：平方根小数点位数移动规律 例9.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根