专题01 绝对值中的四类最值模型-2023-2024学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题01 绝对值中的四类最值模型 最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型解题的主要依据是绝对值的几何意义或代数意义。本专题就绝对值中的四种最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。 模型1.的最小值模型 【模型解读】式子在时，取得最小值为。 【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（2022秋·四川内江·七年级校考阶段练习）大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：，根据以上信息，回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)点A、B在数轴上分别表示实数x和．①用代数式表示A、B两点之间的距离；②如果，求x的值；(3)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 例2．（2022·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3 ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3 ∴的最小值是3 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：； (3)当a为何值时，代数式的最小值是2 变式1．（2022·浙江·七年级专题练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________． 变式2．（2022秋·河南郑州·七年级统考阶段练习）【探究问题】点A、B在数轴上分别表示有理数，，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离或；利用数形结合思想解决探究问题： 【方法感悟】如图，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是，，则或； 若点A，B表示的数分别是，，则或； 若点A，B表示的数分别是，，则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是，，则或； 【知识迁移】(1)点A，B表示的数分别是，b，且，则_____； (2)如图，若点A，B表示的数分别是，，令，若把线段向左平移个单位，则点A与重合；若把线段向右平移n个单位，则点B与重合，那么_____，_____； (3)利用数轴求出的最小值为__________，此时x可取哪些整数值_______ 模型2.的最小值和最大值模型 【模型解读】式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 例1．（2022·福建泉州·七年级校考期中）若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________． 例2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm． （1）求数轴上点B所对应的数b； （2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数； （3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 　 　，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 　 　． 变式1．（2022·上海七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 变式2．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题：有理数a，b在数