专题01 绝对值中的四类最值模型-2023-2024学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题01 绝对值中的四类最值模型 最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型解题的主要依据是绝对值的几何意义或代数意义。本专题就绝对值中的四种最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。 模型1.的最小值模型 【模型解读】式子在时，取得最小值为。 【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（2022·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3 ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3 ∴的最小值是3 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：； (3)当a为何值时，代数式的最小值是2 例2．（2023·广东七年级课时练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为，当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1） 当A、B两点都不在原点时， ①点A、B都在原点的右边，如图（2） ； ②点A、B都在原点的左边，如图（3） ； ③点A、B在原点的两边，如图（4） ； 总上，数轴上A、B两点之间的距离． 回答下列问题（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是____，数轴上表示1和的两点之间的距离是____． （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______． （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_______． 变式1．（2022·浙江·七年级专题练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________． 变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝　 　．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是　 　．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 模型2.的最小值和最大值模型 【模型解读】式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 例1.（2022·浙江·温州七年级月考）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　） A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在 例2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm． （1）求数轴上点B所对应的数b； （2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数； （3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 　 　，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 　 　． 变式1．（2022·上海七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 变式2．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）；(3)若点表示的数为（除