专题01 绝对值中的四类最值模型-2023-2024学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题01 绝对值中的四类最值模型 最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型解题的主要依据是绝对值的几何意义或代数意义。本专题就绝对值中的四种最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。 模型1.的最小值模型 【模型解读】式子在时，取得最小值为。 【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1.（2023·广东七年级期中）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 例2．（2022·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3 ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3 ∴的最小值是3 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：； (3)当a为何值时，代数式的最小值是2 变式1．（2022·浙江·七年级专题练习）阅读下面的材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时： ①如图2，点A、B都在原点的右边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣； ②如图3，点A、B都在原点的左边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣； ③如图4，点A、B在原点的两边：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣， 综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　 回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________． (3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________． 变式2．（2022秋·河南郑州·七年级统考阶段练习）【探究问题】点A、B在数轴上分别表示有理数，，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离或；利用数形结合思想解决探究问题： 【方法感悟】如图，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是，，则或； 若点A，B表示的数分别是，，则或； 若点A，B表示的数分别是，，则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是，，则或； 【知识迁移】(1)点A，B表示的数分别是，b，且，则_____； (2)如图，若点A，B表示的数分别是，，令，若把线段向左平移个单位，则点A与重合；若把线段向右平移n个单位，则点B与重合，那么_____，_____； (3)利用数轴求出的最小值为__________，此时x可取哪些整数值_______ 模型2.的最小值和最大值模型 【模型解读】式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 例1．（2022·福建泉州·七年级校考期中）若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________． 例2．（2022·重庆·七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数