(教参)第2章 2.5 角平分线的性质-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(青岛版)

2.5　角平分线的性质 学习目标 1. 知道角的轴对称性，理解角平分线的性质． 2. 能够用尺规作图完成基本作图：作一个角的平分线． 3. 能利用角平分线的性质和判定进行简单的计算和推理. 素养目标 使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验. 一、角的对称性 角是　轴对称图形　，　角的平分线所在的直线　是它的对称轴． 二、角平分线的性质 角平分线上的点，到　这个角的两边的距离　相等． 三、角平分线的判定 角的内部到　角的两边距离相等　的点在角的平分线上． 1. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是　2　. 2. 如图，点P在∠AOB内，因为PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是点M，N，PM＝PN，所以OP平分∠AOB，理由是　角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上　. 四、作已知角的平分线 利用尺规作∠BAC的平分线AP的作法： 如图，(1)以点A为圆心，以 　适当的长　为半径作弧，分别交这个角的两边于E，F两点； (2)分别以点E，F为圆心，以　大于EF　的长为半径作弧，两条弧交于点P； (3)作　射线AP　. 射线AP就是所求作的∠BAC的平分线． 想一想 为什么要以大于EF为半径画弧？ 解：小于或等于EF画弧，两弧没有交点． 如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是　全等三角形的对应角相等　. 　角平分线的性质和判定的应用 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H. 探究1：若PH＝8 cm，求点P到直线BC的距离； 解：如图，作PQ⊥BE于点Q. 因为BP平分∠ABC，PH⊥BA，PQ⊥BE， 所以PH＝PQ＝8 cm， 即点P到直线BC的距离为8 cm. 探究2：点P在∠HAC的平分线上吗？请说明理由． 解：点P在∠HAC的平分线上．理由如下： 因为CP平分∠ACE，PD⊥AC，PQ⊥BE， 所以PD＝PQ，而PH＝PQ， 所以PD＝PH， 所以点P在∠HAC的平分线上． 1. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是152 cm2，AB＝20 cm，AC＝18 cm，求DE的长． 解：因为AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，所以DE＝DF. 因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 所以S△ABC＝AB·DE＋AC·DF. 因为△ABC的面积是152 cm2，AB＝20 cm，AC＝18 cm， 所以152＝×20×DE＋×18×DF， 所以10DE＋9DF＝152. 因为DE＝DF， 所以19DE＝152， 所以DE＝8 cm. 2. 在公路l1同侧、l2异侧有两个城镇A，B，如图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．(保留作图痕迹，不要求写出画法) 解：如图，C1，C2就是所求的位置． 知识点1　角的对称性和角平分线的性质 1. 角的对称性 角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴． 注意：角平分线不是角的对称轴，因为角平分线是射线而不是直线． 2. 角平分线的性质 文字语言 书写格式 图示 作用 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等 因为AD是∠BAC的平分线，点P是AD上一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，所以PM＝PN 说明线 段相等 【考点诠释】 (1)“角平分线上的点”是指角的平分线上的任意一点；而“距离”是指角平分线上的点到角的两边的垂线段的长度，是点与线之间的距离． (2)利用角平分线的性质，必须具备两个条件：①点在角平分线上；②过该点作这个角的两边的垂线段，二者缺一不可． 知识点2　角平分线的判定 文字语言 书写格式 图示 作用 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 因为PM⊥AB，PN⊥AC，PM＝PN，所以点P在∠BAC的平分线上 确定点P在角平分线上或说明射线AP是角的平分线 【考点诠释】 (1)使用该判定方法的前提是这个点必须在角的内部． (2)角平分线的判定方法是说明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等说明两角相等更方便快捷． 知识点3　作角的平分线 已知∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法如下： (1)以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交这个角的两边于D，E两点； (2)分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两条弧交于点P； (3)作射线OP.