专题04 绝对值中的最值与化简压轴问题专训-2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题04 绝对值中的最值与化简压轴问题专训 【题型目录】 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简问题综合 题型训练： 绝对值中的10道最值问题训练 绝对值中的10道化简问题训练 绝对值最值问题概述： 最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果. 绝对值化简问题概述： 绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型.希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题. 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 【知识归纳】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题： (1)数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是　 　，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是　 　； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为　 　； (3)若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【变式训练】 【变式1】（2022秋·广东珠海·七年级珠海市第九中学校考阶段练习）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b． (1)对照数轴填写下表： a 4 b 6 0 2 A、B两点的距离 2 0 (2)若A，B两点间的距离记为d，试写出d和a，b（）的数量关系___________； (3)写出数轴上到和1的距离之和为2的所有整数___________； (4)若x表示一个有理数，则的最小值为___________． 【变式2】（2022秋·江西萍乡·七年级统考阶段练习）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． (1)如图，数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；数轴上表示和2的两点之间的距离是 ； 【类比探究】 (2)若点表示的数是，点表示的数是，则点、之间的距离为 ； 【拓展应用】 (3)若数轴上分别表示和的两点和之间的距离是24，则 ； (4)若数轴上表示的点位于表示与2的两点之间，求的值； (5)利用数轴分析，若是整数，且满足，则满足条件的所有的值的和为 ． 【变式3】（2022秋·江苏南京·七年级南京师范大学附属中学江宁分校校考阶段练习）阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)若|x﹣3|＝|x+1|，则x＝　 　； (2)式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为　 　； (3)请说出|x﹣3|+|x+1|＝7所表示的几何意义，并求出x的值． 【经典例题二 两个绝对值的差的最值】 【知识归纳】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题： 有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？ 探究问题： 探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0． 当b＝2时，，如图1所示； 当b＝－3时，，如图2所示； 由此可以推断当b＝n时，______． 探究二： 如果A，B两点都不在原点，即，． （1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示： ； （2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：； （3）当A，B两