专题03 全等三角形常见五种辅助线添法专训-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题03 全等三角形常见五种辅助线添法专训 【目录】 辅助线添法一 倍长中线法 辅助线添法二 截长补短法 辅助线添法三 旋转法 辅助线添法四 作平行线法 辅助线添法五 作垂线法 【经典例题一 倍长中线法】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 【例1】（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，中，，是中线，有下面四个结论： ①与的面积相等； ②； ③若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，则的面积比的面积大； ④点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，则． 所有正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 【变式训练】 1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8 2．（2023春·全国·八年级期末）如图，在，点是上的一点，连接，平分，交于中点，连接，若，则___________．    3．（2023春·全国·七年级专题练习）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 　 　． A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA （2）如图2，长的取值范围是　 　． A． B．  C．  D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：． 【经典例题二 截长补短法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例2】（2023·江苏·八年级假期作业）把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形以D为顶点作，交边、于M、N． (1)若，，两边分别交、于点M、N，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【变式训练】 1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 3．（2023春·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校联考期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 【经典例题三 旋转法】 【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【模型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 【例3】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【变式训练】 1．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，