1.2 空间向量基本定理（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 （一）、回顾平面向量 1． 平面向量基本定理及其证明，其证明过程为：　　 ①平移：将平移成同一始点的向量． ②平行投影：过平移后所得向量的终点分别作平移后所在直线的平行线与这两条直线分别相交，得在方向上的分向量． ③依据共线向量定理，分别用表示在方向上的分向量． ④求分向量的和，代入，定理得证． 平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面内两个不共线向量来线性表示． 知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？ 因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ 。我们称 xi, 分别为向量p在上的分向量。 探究 如图1.2-1， 设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点o，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则=+,又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得，从而=+ ，而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得=xi+ .从而，=+ = xi+ . （二）、学习空间向量 知识点1、空间向量基本定理及有关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点2、空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3、用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 重难点题型突破1：基底的判断 例1．（1）、（2021秋·高二课时练习）设，，，且是空间的一组基，则不能作为空间一组基的向量组是（　　） A． B． C． D． （2）、（2023春·湖南·高一校联考期末）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（    ） A． B． C． D． （3）、（2022·全国·高一）（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练1-1】、（2022秋·高二课时练习）（多选题）已知是空间的一组基，下列向量中，可以与构成空间的一组基的向量是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2021·辽宁·沈阳市第五中学高二阶段练习）（多选题）若为空间的一组基底，则下列选项中，能构成基底的是（       ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】、（2023春·高二课时练习）若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号） ①，，；        ②，，； ③，，；            ④，，． 重难点题型突破2：基底的应用 例2．（1）、（2022·江西上饶·高二期末（理））如图，设，若，则（       ） A． B． C． D． （2）、（2022秋·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、（2023秋·高一单元测试）在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、（2023秋·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）（多选题）如图，在正方体中，分别是的中点，分别在线段上，且满足，，设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破3：正交分解 例3．（1）、（2023秋·广东·高二统考期末）在三棱柱中，M，N分别为，的中点，若则（    ） A． B． C． D． （2）、（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期中）设是空间的一个单位正交基底，且向量，若，则用基底表示向量______________． 【变式训练3-1】、（2022·全国·高二课时练习）设是空间向量的一个单位正交基底，，则，的坐标分别为_________． 【变式训练3-2】、（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）