1.1.2 空间向量的数量积运算（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算 （一）、回顾平面向量 1.平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量， 一对实数使 ，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底。 结论：（1）若向量，不共线，则的等价条件是； （2）三终点A,B,C共线存在实数使得=，且 2.两个向量的夹角 （1）定义：一直两个非零向量，作，则∠叫做与的夹角。 （2）范围：夹角的取值范围是 。 ①当与同向时，= ；②反向时，= ；③当与垂直时，= ，并记作⊥。3.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 （1）与的夹角是锐角· 0且与不共线； （2）与的夹角是钝角· 0且与不共线。 4.平面向量的数量积 （1）定义：·= ，规定·= ； （2）坐标表示：·= ，其中； （3）运算律 ①交换律：·= ；②结合律·= ； ③数乘：·= . （4）在方向上的投影是 ； （5）·的几何意义：数量积·等于的模||与在的方向上的投影的乘积。 5.向量数量积的性质 设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 （1）== ；（2）⊥ ；（3）·= ；（4）|· |≤||·||. （二）、学习空间向量 知识点一：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)、常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点二：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 知识点三：夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 知识点四：空间向量的长度 1.定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 重难点题型突破1 空间向量的坐标运算 例1、（1）.（2022秋·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点到坐标平面xOy的距离为（　　） A．2 B．1 C．5 D．3 （2）.（2021·高二课时练习）已知向量，，，若，则实数______. 【变式训练1-1】、（2022秋·高二课时练习）（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2022·高二课时练习）若点关于点对称的点是,则______________． 重难点题型突破2 平行与垂直 例2、（1）.（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）在空间直角坐标系中，，，若，则实数__________. （2）.（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）已知空间向量，，若，则______. 【变式训练2-1】、（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知向量，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2022秋·湖南郴州·高二校考期中）（多选题）已知空间向量则下列结论正确的是（　　） A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 重难点题型突破3 空间向量的数量积计算 例3、（1）.（2023·全国·高三对口高考）已知，则_________，_________，_________，_________，_________． （2）.（2022·高二课时练习）已知正方体的棱长等于，则的值为（    ） A