1.1.1 空间向量与线性运算（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1 空间向量与线性运算 （一）、回顾平面向量 1.平面向量的概念 名称 定义 备注 向量 既有 又有 的量。 向量的大小叫做向量的长度或模 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 与非零向量共线的单位向量为 平行向量 (或共线向量) 方向 的 向量 0与任一向量平行（或共线） 相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比大小 相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为 2.向量的线性运算 （1）加法：是指求两个向量和的运算； 法则（几何意义）：三角形法则、平行四边形法则。 （2）减法：是指求与的相反向量的和的运算叫做与的差； 法则（几何意义）：三角形法则。 （3）数乘：是指求实数与向量的积的运算； 法则（几何意义）：①； ②当时，与的方向 ； ③当时，与的方向 ；④四时，= . 3.共线向量定理 向量与共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数λ，使得。 4.平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量， 一对实数使 ，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底。 结论：（1）若向量，不共线，则的等价条件是； （2）三终点A,B,C共线存在实数使得=，且 5.两个向量的夹角 （1）定义：一直两个非零向量，作，则∠叫做与的夹角。 （2）范围：夹角的取值范围是 。 ①当与同向时，= ；②反向时，= ；③当与垂直时，= ，并记作⊥。6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 （1）与的夹角是锐角· 0且与不共线； （2）与的夹角是钝角· 0且与不共线。 （二）、学习空间向量 知识点一：空间向量的有关概念 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点二：空间向量的线性运算 (1)、向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)、空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点三：共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点四：向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 重难点题型突破1 空间向量的有关概念 例1、（1）．（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（     ） A．任意向量与它的相反向量不相等 B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小 C．如果，则 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同