第26讲 正弦函数、余弦函数的性质-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第26讲 正弦函数、余弦函数的性质 1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义，会求和的周期； 2．掌握、的奇偶性及对称性，会判断简单函数的奇偶性； 3．掌握、的单调性，并能利用单调性比较三角函数值的大小； 4．会求函数和的单调区间；、 5．掌握、的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值。 一、周期函数 1、周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期. 【注意】定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. 2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 3、周期函数的周期公式 （1）一般地，函数的最小正周期 （2）若函数的周期是，则函数的周期为, 二、正弦函数、余弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 三、三角函数单调区间的求法 求形如或的函数的单调区间，要先把化为正数； （1）当时，把整体放入或的单调增（减）区间内，求得的的范围即函数的增（减）区间； （2）当时，把整体放入或的单调增（减）区间内，求得的的范围即函数的减（增）区间。 四、三角函数的值域求法 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等． 三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)． （2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． （3）对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论． 考点一：求三角函数的最小正周期 例1．函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】函数的最小正周期为________. 【变式训练2】（多选）下列函数中，是周期函数的是（ ） A． B． C． D． 考点二：三角函数周期的应用 例2．设为实数，函数的最小正周期为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【变式训练1】设，则__________. 【变式训练2】已知，则____________. 考点三：正、余弦函数的奇偶性问题 例3．判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）. 【变式训练1】已知函数为偶函数，则的取值可以为（ ） A． B． C． D．0 【变式训练2】若函数是奇函数，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 考点四：正余弦函数的对称性 例4．函数的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为_____. 考点五：正、余弦函数的单调性 例5．函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】函数，的增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间． 考点六：比较三角函数的大小 例6．不求值比较大小（1）______；（2）______. 【变式训练1】下列不等式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1） 与; （2）与． 考点七：求正、余弦函数的最值 例7．函数最大值为（ ） A．2 B．5 C．8 D．7 【变式训练1】