课时达标检测(18) 直线与圆锥曲线的位置关系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

课时达标检测(十八)　直线与圆锥曲线的位置关系 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知抛物线C:y2=x与直线l:y=kx+1,“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的 (B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由(kx+1)2=x,得k2x2+(2k-1)x+1=0,则当k≠0时,令Δ=(2k-1)2-4k2=-4k+1>0,得k<且k≠0。故“k≠0”推不出“直线l与抛物线C有两个不同的交点”,但“直线l与抛物线C有两个不同的交点”能推出“k≠0”。故选B。 2.过点P(3,1)作直线l,若l与双曲线-y2=1只有一个公共点,则l的条数为 (C) A.4 B.3 C.2 D.1 解析　由数形结合可得有两条:一条平行于渐近线,方程为x+3y-6=0;一条为切线,方程为x=3。 3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆的方程为 (C) A.+y2=1 B.x2+=1 C.+=1 D.+=1 解析　依题意,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),则解得a2=20,b2=5,因此所求椭圆的方程为+=1,故选C。 4.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且直线l经过抛物线的焦点F及A(8,8),则线段AB的中点到准线的距离为 (A) A. B. C. D.25 解析　抛物线的焦点为F(2,0),则直线l的方程为y=(x-2)。由解得B。所以|AB|=|AF|+|BF|=2+8+2+=,所以线段AB的中点到准线的距离为。 5.直线y=x+1被椭圆+=1所截得的弦的中点坐标是 (C) A. B. C. D. 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的交点,中点M(x0,y0),由得3x2+4x-2=0。x0==×=-,y0=x0+1=,所以中点坐标为。 6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点。若|FA|=2|FB|,则k= (D) A. B. C. D. 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4　①,因为|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+=x2+2,且|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2　②。由①②得x2=1,所以B(1,2),代入y=k(x+2),得k=。故选D。 二、多项选择题 7.已知双曲线C:x2-y2=1,F是其右焦点,过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点,则直线l的斜率为 (AB) A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析　要使过右焦点F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点则直线l应平行于双曲线的渐近线。因为双曲线的渐近线为y=±x,所以kl=±1,故选AB。 8.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A,B两点,以下结论,正确的是 (ABC) A.△ABF2的周长为8 B.原点到l的距离为1 C.|AB|= D.△AOB的面积为 解析　对于A,由椭圆的定义,得|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BF2|=4,又|AF1|+|BF1|=|AB|,所以△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,A正确;对于B,由题意得F1(-,0),因为过F1且倾斜角为45°的直线l的斜率为1,故直线l的方程为y=x+,原点到l的距离d==1,故B正确;对于C,由消去y,得3x2+4x=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),解得x1+x2=-,x1x2=0,所以|AB|=×=,故C正确;由B,C两项知S△AOB=·|AB|·d=,故D错误。故选ABC。 三、填空题 9.椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为  。  解析　由消去y并化简得x2+2x-6=0。设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6。所以弦长|MN|=·|x1-x2|===。 10.双曲线中心在原点,一个焦点坐标为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则双曲线的方程为 -=1 。  解析　由题意知中点坐标为,设双曲线方程为-=1,M(x1,y1),N(x2,y2),则-=1①,-=1②,①-②得=,即=·,所以=,解得a2=2,故双曲线方程为-=1。 11.直线y=2x+b截抛物线y2=4x得弦AB,若|AB|=3,F是抛物线的焦点,则b= -4 ,△FAB的周长等于 7+3 。  解析　联立消去y得4x2+4(b-1)x+b2=0。由弦长公式得|AB|=·=3,解得b=-4,△FAB