课时达标检测(12) 椭圆及其标准方程-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

课时达标检测(十二)　椭圆及其标准方程 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.平面内,F1,F2是两个定点,“动点M满足||+||为常数”是“M的轨迹是椭圆”的 (B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当||+||>||时,M的轨迹才是椭圆。故选B。 2.已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是 (B) A.(4,10) B.(7,10) C.(4,7) D.(4,+∞) 解析　依题意有k-4>10-k>0,解得7<k<10。故选B。 3.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为 (D) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析　设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得故选D。 4.已知椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k= (D) A. B. C.3 D.5 解析　因为椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1,因为k-1=4,所以k=5。故选D。 5.椭圆+=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上的一点,已知·=0,则△F1PF2的面积为 (A) A.9 B.12 C.10 D.8 解析　因为·=0,所以PF1⊥PF2。所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2且|PF1|+|PF2|=2a。又a=5,b=3,所以c=4,所以②2-①,得2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|·|PF2|=18,所以△F1PF2的面积为S=·|PF1|·|PF2|=9。故选A。 6.已知P是椭圆+=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2的大小为 (A) A.60° B.30° C.120° D.150° 解析　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2,所以(|PF1|+|PF2|)2=64,因为|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|2+|PF2|2=40,在△F1PF2中,cos∠F1PF2==,因为∠F1PF2∈(0°,180°),所以∠F1PF2=60°。故选A。 二、多项选择题 7.椭圆+=1的焦距为4,则m的值可能是 (AD) A.12 B.10 C.6 D.4 解析　因为椭圆的焦距为2c=4,则c=2,当焦点在x轴上时,有m=8+22=12;当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4。故m的值可能为4或12。故选AD。 8.对于曲线C:+=1,下面四个说法中正确的是 (CD) A.曲线C不可能是椭圆 B.“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件 D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件 解析　A项,当1<k<4且k≠2.5时,曲线C是椭圆,所以A错误;B项,当k=2.5时,4-k=k-1,此时曲线C是圆,所以B错误;C项,若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则解得2.5<k<4,所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件,所以C正确;D项,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则解得1<k<2.5,所以D正确。故选CD。 三、填空题 9.过点(,-),且与椭圆+=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为 +=1 。  解析　椭圆+=1的焦点为(0,±4),设椭圆方程为+=1(a>b>0),则有a2-b2=16　①,再代入点(,-),得+=1　②,由①②解得a2=20,b2=4。则所求椭圆的标准方程为+=1。 10.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上。若|PF1|=4,则|PF2|= 2 ,∠F1PF2的大小为 120° 。  解析　由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2。在△PF1F2中,cos∠F1PF2==-。故∠F1PF2=120°。 11.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥。若△PF1F2的面积为9,则b= 3 。  解析　因为F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥,所以|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,|PF1|·|PF2|=9,所以(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1|·|PF2|=4a2,所以36=4(a2-c2)=4b2,所以b=3。 四、解答题 12.求符合下列条件的椭圆的标准方程。 (1)过点,和,1; (2)过点(-3,2)且与椭圆+=1有相同的焦点。 解　(1)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)。因为椭圆过点,和,1,所以解得所以所求椭圆的标准方程为x2+=1。