课时达标检测(10) 直线与圆的位置关系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

课时达标检测(十)　直线与圆的位置关系 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.直线l:y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是 (C) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 解析　l过定点A(1,1),因为12+12-2×1=0,所以点A在圆上,因为直线x=1过点A且为圆的切线,又l斜率存在,所以l与圆一定相交。故选C。 2.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为 (A) A.0或4 B.0或3 C.-2或6 D.-1或 解析　由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2。又直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离d==。又d=,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0。故选A。 3.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为C(-2,3),则直线l的方程为 (A) A.x-y+5=0 B.x+y-1=0 C.x-y-5=0 D.x+y-3=0 解析　由圆的一般方程可得圆心为M(-1,2)。由圆的性质易知M(-1,2)与C(-2,3)的连线与弦AB垂直,故有kAB×kMC=-1⇒kAB=1,故直线AB的方程为y-3=x+2,整理得x-y+5=0。 4.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 (D) A.-或 B.-或 C.-或 D.-或- 解析　由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0。又因为反射光线与圆相切,所以=1,整理得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-。 5.若点(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是 (C) A.相离 B.相切 C.相交但不过圆心 D.相交且过圆心 解析　由题意,得a2+b2>r2,从而圆心(0,0)到直线的距离为d=∈(0,r),所以直线与圆相交但不过圆心。 6.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是 (A) A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3] 解析　设圆心到直线AB的距离d==2。点P到直线AB的距离为d'。易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3。又|AB|=2,所以S△ABP=·|AB|·d'=d',所以2≤S△ABP≤6。 二、多项选择题 7.在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能为 (ABD) A　　　B C　　　D 解析　由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能。 8.与圆C:x2+y2-4x+2=0相切,且在x,y轴上的截距相等的直线方程可能为 (ABD) A.x+y=0 B.x-y=0 C.x=0 D.x+y=4 解析　圆C的方程可化为(x-2)2+y2=2。可分为两种情况讨论:①直线在x,y轴上的截距均为0,易知直线斜率必存在,设直线方程为y=kx,则=,解得k=±1;②直线在x,y轴上的截距均不为0,则可设直线方程为+=1(a≠0),即x+y-a=0(a≠0),则=,解得a=4(a=0舍去)。综上所述,所求直线方程可能为y=±x或x+y-4=0。 三、填空题 9.过点P(3,5)引圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为 4 。  解析　由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,得到圆心A的坐标(1,1),设切点为B,则半径r=|AB|=2,又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|==2,由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,根据勾股定理得|PB|===4,则切线长为4。 10.如图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶距离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为 2 m。  解析　 以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的铅垂线为纵轴,建立直角坐标系,如图所示。由题意可知,设圆的方程为x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶距离水面2 m时,水面宽12 m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100,当水面下降1 m后,设A'(x0,-3)(x0>6)代入圆的方程中,得x0=,所以此时水面宽2 m。 11.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为 (x+1)2+y2=2 。  解析　令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0)。因为直