第2章 专题 圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

专题　圆锥曲线中的最值(范围)、 定值(定点)、探索性问题 自主预习明新知 1.定点、定值问题 对于解析几何中的定点、定值问题,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口。 2.最值、范围问题 解决圆锥曲线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙;二是代数法,将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等,求解最大或最小值。 3.探索性问题 存在探索型问题作为探索性问题之一,具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求,方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力,因而受到命题人的喜爱。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　最值与范围问题 　　命题方向1:几何法求最值(范围) 　　【例1】　已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若点A(3,0),M满足|AM|=1,且·=0,则|PM|的最小值是  。  解析　 因为·=0,所以⊥,所以||2=||2-||2=||2-1。因为点M的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,||越小,||就越小,结合示意图知,当P为椭圆的右顶点时,||取最小值a-c=5-3=2,所以||的最小值是=,即|PM|的最小值是。 　　本题求|PM|最小值可运用椭圆与圆的几何性质,这种方法简单,直观。 【变式训练】　已知F1是椭圆+=1的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(-1,3)是一定点,则|PA|+|PF1|的最大值是 15 。  解析　由题意知F1(-3,0),F2(3,0),利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10。易知|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|≤10+|AF2|=15。 　　命题方向2:代数法求最值(范围) 　　【例2】　设动直线y=kx+m与定椭圆+=1相交于点A,B。 (1)求弦长|AB|及△OAB的面积S(用含a,b,k,m的式子表示); (2)试求△OAB的面积S的最大值。 解　(1)联立直线与椭圆的方程,消去y得到(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,其根的判别式Δ=4a2b2(a2k2+b2-m2)。易知Δ>0,弦长|AB|==·。原点O到直线AB的距离d=,于是△OAB的面积S=·|AB|·d=ab·。 (2)由于S=ab·=ab·。令t=(t>0),则S=ab·。当且仅当t=时,S取到最大值,Smax=。 　　用代数法求最值常用函数的性质或基本不等式求解。 【变式训练】　 如图,已知椭圆+y2=1(a>1)。 (1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示); (2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围。 解　(1)由题意设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM,由消去y,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故xA=0,xM=-。因此|AM|=|xA-xM|=·。 (2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|。记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1>0,k2>0,k1≠k2。由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)[1+++a2(2-a2)]=0。由于k1≠k2,k1>0,k2>0,故得1+++a2(2-a2)=0,因此+1+1=1+a2(a2-2)　①,因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>。因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤,又e==,故所求离心率的取值范围为0,。 类型二　定点与定值问题 　　【例3】　已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1)。 (1)求C的方程; (2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足。证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值。 解　(1)由题设得+=1,=,解得a2=6,b2=3。所以C的方程为+=1。 (2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2)。若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入+=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0。于是x1+x2=-　①,x1x2=　②。由AM⊥AN知·=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0。将①,②代入上式可得(k2+1)-(k