第2章 4 直线与圆锥曲线的位置关系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 情境导入 课程标准 观察上面图形,你能找出其中哪些是曲线,哪些是直线吗?请说出它们的位置关系。 1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系。 2.掌握直线与圆锥曲线相交所得弦的弦长。 自主预习明新知 1.直线与圆锥曲线的交点及位置关系 直线与圆锥曲线联立,消元得方程ax2+bx+c=0。 方程特征 交点个数 位置关系 直线与椭圆 a≠0,Δ>0 2 相交 a≠0,Δ=0 1 相切 a≠0,Δ<0 0 相离 直线与双曲线 a=0 1 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交 a≠0,Δ>0 2 相交 a≠0,Δ=0 1 相切 a≠0,Δ<0 0 相离 直线与抛物线 a=0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交 a≠0,Δ>0 2 相交 a≠0,Δ=0 1 相切 a≠0,Δ<0 0 相离 2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题 (1)圆锥曲线的弦 直线与圆锥曲线有两个不同的交点时,直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 (2)弦长的计算 设直线l与圆锥曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线l的斜率k存在,则 |AB|= =|x2-x1| =; 当直线l的斜率存在且不为零时, |AB|= =|y2-y1| =。 即|AB|= =(k≠0), 我们称上式为弦长公式。 特别地,当直线l的斜率不存在时,|AB|=|y1-y2|。 3.中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率。 (2)根与系数的关系法:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解。 微思考 直线和圆锥曲线只有一个公共点,是否可以说直线与圆锥曲线相切? 提示:不可以。因为当直线与椭圆只有一个公共点时,直线与椭圆相切;而当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时,也只有一个公共点,但不是相切。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线与圆锥曲线的位置关系 　　【例1】　若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点,求m的取值范围。 解　由消去y,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0,所以Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1)。因为直线与椭圆总有公共点,所以Δ≥0对任意k∈R都成立。因为m>0,所以5k2≥1-m恒成立,所以1-m≤0,即m≥1。又椭圆的焦点在x轴上,所以1≤m<5。 　　直线与椭圆的位置关系可类比直线与圆的位置关系来判断,一般用Δ法判别,其步骤是:(1)联立方程组;(2)消元,转化为一元二次方程;(3)计算Δ=b2-4ac,当Δ>0时,直线和椭圆有两个交点(相交);当Δ=0时,直线和椭圆有且只有一个公共点(相切);当Δ<0时,直线和椭圆没有公共点(相离)。 【变式训练】　已知直线l:kx-y+2-k=0,双曲线C:x2-4y2=4。当k为何值时: (1)l与C无公共点; (2)l与C有唯一公共点; (3)l与C有两个不同的公共点。 解　将直线方程与双曲线方程联立,消去y得 (1-4k2)x2-8k(2-k)x-4(k2-4k+5)=0　①。 (1)要使l与C无公共点,即方程无实数解,当1-4k2=0时,方程有解,不满足条件;当1-4k2≠0时,Δ<0,即64k2(2-k)2+16(1-4k2)(k2-4k+5)<0,解得k<或k>。故当k<或k>时,l与C无公共点。 (2)当1-4k2=0,即k=±时,显然方程①只有一个解,l与C有唯一公共点;当1-4k2≠0时,Δ=0,得k=时,l与C有唯一公共点。 (3)当1-4k2≠0且Δ>0时,方程①有两个不同的解,即l与C有两个公共点,即<k<且k≠±。 类型二　弦长问题 　　【例2】　已知动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-。 (1)试求动点P的轨迹方程C; (2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M,N两点,当|MN|=时,求直线l的方程。 解　(1)设动点P的坐标是(x,y),由题意得kPA·kPB=-。所以·=-,化简整理得+y2=1。故P点的轨迹方程C是+y2=1(x≠±)。 (2)设直线l与曲线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kx=0。Δ=16k2-4(1+2k2)·0=16k2>0,所以k≠0,所以x1+x2=,x1x2=0。|MN|=·=,整理得k4+k2-2=0,解得k2=1。所以k=±1,经检验符