第1章 2.3 直线与圆的位置关系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

2.3　直线与圆的位置关系 情境导入 课程标准 　　 早晨的日出非常美丽,如果我们把海平面看成一条直线,而把太阳抽象成一个运动着的圆,观察太阳缓缓升起的这样一个过程,你能想象到什么几何知识呢?没错,太阳升起的过程可以体现直线与圆的三种位置关系,你发现了吗? 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系。 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 自主预习明新知 直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 几何法: 设圆心到直线的距离为d= d<r d=r d>r 位置关系 相交 相切 相离 代数法: 由 消元得到一元二次方程,可得方程的根的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线与圆位置关系的判断 　　【例1】　已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系。 解　解法一:(代数法)由方程组消去y后整理,得5x2-50x+61=0。因为Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0,所以该方程组有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交。 解法二:(几何法)圆心(7,1)到直线l的距离为d==2。因为d<r=6,所以直线l与圆C相交。 　　判断直线与圆位置关系的方法:(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断。(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断。 【变式训练】　直线x-ky+1=0与圆x2+y2=1的位置关系是 (C) A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 解析　直线x-ky+1=0恒过定点(-1,0),而(-1,0)在圆上,故直线与圆相切或相交。 类型二　切线问题 　　【例2】　已知圆C:(x-3)2+y2=1。 (1)过点P(0,1)作直线l与圆C相切,切线长为 3 ,直线l的方程为 y=1或3x+4y-4=0 。  (2)过点P(2,3)作直线l与圆C相切,则直线l的方程为 4x+3y-17=0或x=2 。  解析　 (1)如图,过点P作圆C的一条切线,切点为Q,连接PC,CQ,则三角形PCQ为直角三角形,且∠CQP=90°。而|CP|2=32+12=10,|CQ|=r=1,所以|PQ|2=|PC|2-|CQ|2=10-1=9,则|PQ|=3。依题意可设直线l:y=kx+1,即kx-y+1=0,圆心C(3,0)到直线l的距离为d==1,整理得4k2+3k=0,解得k=-或k=0,故直线l的方程为y=1或3x+4y-4=0。 (2)当直线l的斜率存在时,设直线l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,圆心C(3,0)到直线l的距离为d==1,化简整理得3k+4=0,即k=-,这时直线l的方程为4x+3y-17=0。当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2,易知它与圆(x-3)2+y2=1相切。所以直线l的方程为4x+3y-17=0或x=2。 　　(1)过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法:①几何法:设出切线的方程,利用圆心到切线的距离等于半径,求出未知量的值(此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出其切线方程)。②代数法:设出直线的方程后与圆的方程联立消元,利用Δ=0求未知量的值。若消元后的方程是一元一次方程,则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在,可直接写出其切线的方程。(2)过一点求圆的切线方程时,若点在圆上,则切线只有一条;若点在圆外,则切线有两条。 【变式训练】　(1)圆x2+y2=4在点P(,-1)处的切线方程为 (C) A.x+y-2=0 B.x+y-4=0 C.x-y-4=0 D.x-y+2=0 解析　因为()2+(-1)2=4,所以点P在圆上,所以P为切点。因为切点与圆心连线的斜率为-,所以切线的斜率为,所以切线方程为y+1=(x-),即x-y-4=0。 (2)点P是直线2x+y+10=0上的动点,PA,PB与圆x2+y2=4分别相切于A,B两点,则四边形PAOB面积的最小值为 8 。  解析　 如图所示,因为S四边形PAOB=2S△POA,又OA⊥AP,所以S四边形PAOB=2×|OA|·|PA|=2=2。为使四边形PAOB面积最小,当且仅当|OP|达到最小,又|OP|的最小值为点O到直线2x+y+10=0的距离,即|OP|min==2,故所求最小值为2=8。