第1章 2.2 圆的一般方程-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

2.2　圆的一般方程 情境导入 课程标准 　　前面我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0。可见,任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式。 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的一般方程。 自主预习明新知 1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 将方程左边配方,并将常数项移到右边得 +=。 (1)当D2+E2-4F>0时,表示圆心为,半径为的圆。 (2)当D2+E2-4F=0时,表示点。 (3)当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。 2.圆的一般方程 (1)一般方程:当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程。 (2)对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0而言,圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时,其在代数结构上的典型特征: ①x2,y2的系数相同,且不等于0,即A=B≠0; ②不含xy这样的二次项,即C=0。 微思考 1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆吗? 提示:不一定。只有D2+E2-4F>0时表示圆,否则不表示圆。 2.如果点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内,那么应满足什么关系式?圆外呢? 提示:若点P在圆内,则++Dx0+Ey0+F<0;若点P在圆外,则++Dx0+Ey0+F>0。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　二元二次方程与圆的关系 　　【例1】　若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求: (1)实数m的取值范围; (2)圆心坐标和半径。 解　(1)由题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,故m的取值范围为-∞,。 (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径r=。 　　判断二元二次方程与圆的关系时,一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,当它具备圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆。此时有两种途径:一是看D2+E2-4F是否大于零;二是直接配方变形,看方程等号右端是否为大于零的常数。 【变式训练】　(1)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 (-2,-4) ,半径是5。  解析　由二元二次方程表示圆的条件可得a2=a+2,解得a=2或a=-1。当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,配方得x+2+(y+1)2=-<0,不表示圆;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标为(-2,-4),半径是5。 (2)已知曲线C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0。求证:当m≠2时,曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上。 证明　因为D=-4m,E=2m,F=20m-20,所以D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2。又m≠2,所以(m-2)2>0,所以D2+E2-4F>0,即曲线C是一个圆。设圆心坐标为(x,y),则由消去m,得x+2y=0,即圆心在直线x+2y=0上。 类型二　求圆的一般方程 　　【例2】　求满足下列条件的圆的一般方程: (1)圆心在直线y=x上,与x轴相交于(-1,0),(3,0)两点; (2)经过A(4,0),B(3,-3),C(1,1)三点。 解　(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心为-,-。因为圆心在直线y=x上,且圆过(-1,0),(3,0)两点,所以解得所以圆的方程为x2+y2-2x-2y-3=0。 (2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别代入(4,0),(3,-3),(1,1)三点,得解得所以圆的方程为x2+y2-4x+2y=0。 　　待定系数法求圆的一般方程的步骤:(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0;(2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组;(3)解此方程组,求出D,E,F的值;(4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程。 【变式训练】　(1)过点M(-1,1),且圆心与已知圆C:x2+y2-4x+6y-3=0相同的圆的方程为 (x-2)2+(y+3)2=25 。  解析　将圆C的方程化为标准方程(x-2)2+(y+3)2=16,圆心C的坐标为(2,-3),半径为4,故所求圆的半径为r=|CM|==5。所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25。 (2)过三点O(0,0),M(