第1章 2.1 圆的标准方程-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

§2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 情境导入 课程标准 　　 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、吟咏月亮。有诗道:“明月四时好,何事喜中秋?瑶台宝鉴,宜挂玉宇最高头。放出白毫千丈,散作太虚一色,万象入吾眸。星斗避光彩,风露助清幽。”如果把天空看作一个平面,在上面建立一个平面直角坐标系,那么月亮的坐标方程如何表示? 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程。 自主预习明新知 1.圆的定义 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹),其中定点是圆心,定长就是半径。 2.圆的标准方程 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。 3.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系 (1)在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2或d<r; (2)在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2或d=r; (3)在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2或d>r。 说明:点M到圆心(a,b)的距离为d。 微思考 方程(x-a)2+(y-b)2=r2(a,b,r∈R)表示一个圆吗?为什么? 提示:未必表示圆。当r≠0时,表示圆心为(a,b),半径为|r|的圆;当r=0时,表示一个点(a,b)。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直接法求圆的标准方程 　　【例1】　(1)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是 (D) A.(x+1)2+(y+2)2=10 B.(x-1)2+(y-2)2=100 C.(x+1)2+(y+2)2=25 D.(x-1)2+(y-2)2=25 解析　因为AB为直径,所以AB的中点(1,2)为圆心,|AB|==5为半径,所以该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25。 (2)与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为 (x+5)2+(y+3)2=25 。  解析　因为圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相切,所以该圆的半径为5,所以该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25。 　　用直接法求圆的标准方程的策略:(1)首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程。(2)确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等。 【变式训练】　已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的标准方程为 (x-2)2+y2=9 。  解析　设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),由题意知=,解得a=2,则圆C的半径为r=|CM|==3。所以圆C的标准方程为(x-2)2+y2=9。 类型二　待定系数法求圆的标准方程 　　【例2】　圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程为 (x+1)2+(y+2)2=10 。  解析　解法一:(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题设条件知解得故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10。 解法二:(几何性质法)线段AB的中点的坐标为(0,-4),直线AB的斜率kAB==,所以弦AB的垂直平分线的斜率为k=-2,所以弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4=0。又圆心是直线2x+y+4=0与直线x-2y-3=0的交点,由得所以圆心坐标为(-1,-2),所以圆的半径长r==,故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10。 　　求圆的标准方程的方法:确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及半径r,其求解的方法:(1)待定系数法:建立关于a,b,r的方程组,进而求得圆的方程;(2)借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径长。一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷。 【变式训练】　已知圆C与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求圆C的方程。 解　解法一:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心为C(a,b),由|CA|=|CB|=r,CA⊥l,得解得所以圆C的方程为(x-5)2+y-2=。 解法二:由题意知直线CA⊥l,故直线CA的方程为y-6=-(x-3),即3x+4y-33=0。又因为kAB==-2,线段AB的中点坐标为(4,4),所以线段AB的垂直平分线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0,解方程组得所以圆心C5,,所以半径r=。所以圆C的方程为(x-5)2+y-2=。 类型三　点与圆的位置关系 　　【例3】　(1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的