第1章 1.6 平面直角坐标系中的距离公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 情境导入 课程标准 　　在铁路的附近,有一大型仓库。现要修建一条公路与之连接起来,易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短。将铁路看作一条直线l,仓库看作点P,怎样求得仓库到铁路的最短距离呢? 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式。 2.掌握点到直线的距离公式。 3.会求两条平行直线间的距离。 自主预习明新知 1.两点间的距离公式 两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式|AB|=。 2.点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=(其中A,B不全为0)。 3.两条平行直线间的距离公式 两条平行直线间的距离就是夹在两条平行直线间的公垂线段的长。 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的距离d=(其中A,B不全为0,且C1≠C2)。 微提醒 1.运用点到直线的距离公式时,一定要将直线方程化为一般式方程。 2.运用两平行直线间的距离公式时,必须保证两直线方程中x,y的系数分别对应相同。 微思考 1.式子的几何意义是什么? 提示:两点(x,y),(a,b)间的距离。 2.点到直线的距离公式对于A=0或B=0时的直线是否仍然适用? 提示:仍然适用,但一般不用公式求解,而常用数形结合求点到直线的距离。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　两点间的距离公式及应用 　　【例1】　如图,已知△ABC的三顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7)。 (1)判断△ABC的形状; (2)求△ABC的面积。 解　(1)因为|AB|===2。|AC|===2。|BC|===2,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,所以△ABC是等腰直角三角形。 (2)因为S△ABC=|AC|·|AB|=×()2=26,所以△ABC的面积为26。 　　(1)对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),有|P1P2|=。(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特殊情况求解。 【变式训练】　试在直线x-y+4=0上求一点P,使它到点M(-2,-4),N(4,6)的距离相等。 解　由直线x-y+4=0,得y=x+4,点P在该直线上,所以可设P点的坐标为(a,a+4)。由已知|PM|=|PN|,得=,解得a=-,从而a+4=-+4=。所以P-,。 类型二　点到直线的距离 　　【例2】　求点P(3,-2)到下列直线的距离: (1)y=x+; (2)y=6; (3)x=4。 解　(1)直线y=x+化为一般式为3x-4y+1=0,由点到直线的距离公式可得d==。 (2)因为直线y=6与y轴垂直,所以点P到它的距离d=|-2-6|=8。 (3)因为直线x=4与x轴垂直,所以点P到它的距离d=|3-4|=1。 　　应用点到直线的距离公式应注意的三个问题:(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式。(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用。(3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解。 【变式训练】　求垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是的直线l的方程。 解　设与直线x+3y-5=0垂直的直线的方程为3x-y+m=0,则由点到直线的距离公式知d===。所以|m-3|=6,即m-3=±6。得m=9或m=-3,故所求直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0。 类型三　两条平行直线间的距离 　　【例3】　(1)直线-=1与y=x+1之间的距离为 (B) A. B. C. D.24 解析　两直线变形为3x-2y-12=0与3x-2y+2=0,则两直线间的距离d===。故选B。 (2)两条平行直线3x-4y+1=0与ax-8y+c=0的距离为3,则a= 6 ,c= -28或32 。  解析　由题意得=,所以a=6。直线3x-4y+1=0即为6x-8y+2=0。由两条平行直线间的距离公式得=3,所以|2-c|=30,即c=-28或c=32。 　　两条平行直线间距离的求法:(1)直接利用两条平行直线间的距离公式。(2)在一条直线上任意选取一点,利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点,如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)。 【变式训练】　(1)直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0间的距离是 3 。  解析　6x+8y+6=0可化为3x+4y+3=0,所以直线3x+4y-12=0与3x+4y+3=0之间的距离d===3。 (2)与两条平行直线l1:3x-y+9=0,l2:3x-y-3=0等距离的直线方程是 3x-y+3=0 。  解析　设所求直线方程为3x-y+m=0。