第1章 1.5 两条直线的交点坐标-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

1.5　两条直线的交点坐标 情境导入 课程标准 　　如图,小王与小李两位同学早上7点从家中出发去上学,7:15准时到达学校。假设两人的行走路线都是直线,则学校可以看作两条直线的交点。上述问题放在直角坐标系中,如何求解学校的坐标? 用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。 自主预习明新知 两条直线的交点坐标 一般地,对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交,若相交,则依据直线方程的概念可知,两条直线l1,l2交点的坐标就是两个方程的公共解。因此,可通过求解方程组得到两条直线l1,l2的交点坐标。 微思考 两直线方程构成的方程组的解的个数与两直线的位置关系怎样对应? 提示:方程组有唯一解⇔两直线相交;方程组无解⇔两直线平行;方程组有无数组解⇔两直线重合。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　两条直线交点坐标的应用 　　【例1】　(1)直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0互相垂直,则这两条直线的交点坐标为 (B) A. B. C. D. 解析　由两直线垂直得2a×1+1×[-(a+1)]=0,解得a=1。由解得所以这两条直线的交点坐标为,。 (2)在▱ABCD中,已知A(1,2),B(5,0),C(3,4),求点D的坐标。 解　 解法一:如图所示,kBC==-2,kAB==-,由AD∥BC,CD∥AB,得边AD所在直线的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0,边CD所在直线的方程为y-4=-(x-3),即x+2y-11=0。联立解得即D(-1,6)。 解法二:设点D的坐标为(x,y),由平行四边形的性质知于是有解得即D(-1,6)。 解法三:利用两条对角线互相平分得解得即D(-1,6)。 解法四:如图所示,设O为坐标原点,连接OA,OD,则=+=+=(1,2)+(3-5,4-0)=(-1,6),即D(-1,6)。 　　求点的坐标的三种途径:(1)将该点视为两直线的交点,通过联立方程求交点坐标;(2)利用待定系数法,即设出点的坐标,由题设条件建立坐标所满足的方程组,求点的坐标;(3)向量方法,利用向量的线性运算,求出以原点为起点,该点为终点的向量坐标,即该点的坐标。 【变式训练】　三条直线ax+2y+7=0,4x+y=14和2x-3y=14相交于一点,求a的值。 解　解方程组得所以两条直线的交点坐标为(4,-2)。由题意知点(4,-2)在直线ax+2y+7=0上,将(4,-2)代入,得a×4+2×(-2)+7=0,解得a=-。 类型二　含参数的直线过定点问题 　　【例2】　求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一定点,并求出这个定点坐标。 解　解法一:对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0。解方程组得两条直线的交点坐标为(2,-3)。将点(2,-3)代入直线方程,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=0。这表明不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3)。 解法二:将已知方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0。由于m取值的任意性,有解得所以不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3)。 　　解决过定点问题常用的三种方法:(1)特殊值法:给方程中的参数取两个特殊值,可得关于x,y的两个方程,从中解出的x,y的值即为所求定点的坐标。(2)点斜式法:将含参数的直线方程写成点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0)。(3)分离参数法:将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式,则该方程表示的直线必过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点,而此交点就是定点。 【变式训练】　求经过直线l1:3x+4y-5=0与直线l2:2x-3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线方程: (1)与直线2x+y+5=0平行; (2)与直线2x+y+5=0垂直。 解　解法一:由解得即交点为(-1,2)。 (1)由所求直线与直线2x+y+5=0平行知,所求直线的斜率k=-2,故所求直线方程为y-2=-2(x+1),即2x+y=0。 (2)因为直线2x+y+5=0的斜率为-2,则所求直线的斜率k=,故所求直线方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0。 解法二:易知直线2x-3y+8=0与直线2x+y+5=0既不平行也不垂直,所以直线2x-3y+8=0不是所求直线,所以可设经过l1与l2交点的直线