第1章 1.4 两条直线的平行与垂直-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

1.4　两条直线的平行与垂直 情境导入 课程标准 　　过山车是一种富有刺激性的游乐设施。实际上,过山车的运动包含了许多数学、 物理学原理。过山车的两条铁轨是永远平行的轨道,它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着。你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢? 能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 自主预习明新知 1.两条直线平行 (1)当两条直线的斜率都存在时,设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2⇔ (2)当两条直线的斜率都不存在时,直线的倾斜角都是,从而两直线互相平行或重合。 2.两条直线垂直 (1)当两条直线的斜率都存在时,设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔k1k2=-1。 (2)当两条直线中有一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,两直线垂直。 微提醒 　设直线l1与l2的一般式方程分别为 l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0)。 (1)l1∥l2⇔ 当A2B2C2≠0时,l1∥l2⇔=≠。 (2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0。 微思考 如果两条直线垂直,则它们的斜率的积一定等于-1吗? 提示:不一定,它们可能是一条直线斜率为0,另一条没有斜率。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　两条直线平行的判定与应用 　　【例1】　(1)在△ABC中,A(0,3),B(2,-1),E,F分别为边AC,BC的中点,则直线EF的斜率为 -2 。  解析　因为E,F分别为边AC,BC的中点,所以EF∥AB。所以kEF=kAB==-2。 (2)已知直线l1:x+my+6=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则实数m的取值为 (B) A.-1或3 B.-1 C.-3 D.1或-3 解析　解法一:由l1∥l2得1×3-(m-2)×m=0,解得m=-1或m=3。当m=-1时,两直线方程为x-y+6=0与-3x+3y-2=0,两直线平行,满足条件;当m=3时,两直线方程为x+3y+6=0与x+3y+6=0,两直线重合,不满足条件。故m的值为-1。 解法二:由l1∥l2得解得m=-1。 　　因为A1B2-A2B1=0仅是l1∥l2的必要条件,而非充要条件,所以例1(2)求出的m的值未必能确保l1∥l2,因此需检验。本题还可利用l1∥l2的充要条件构建关于m的方程组,此方法求出的m的值无须检验。 【变式训练】　(1)过点P(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为 (C) A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y+5=0 解析　设平行于直线x-2y+3=0的直线方程为x-2y+m=0,又所求直线过点P(-1,3),则-1-6+m=0,m=7。故选C。 (2)当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行? 解　由题意可知,=-1,=a2-2,因为l1∥l2,所以解得a=-1。故当a=-1时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行。 类型二　两条直线垂直的判定与应用 　　【例2】　(1)已知直线l1:x+ay+1=0与l2:x-y+1=0垂直,则a= 1 。  解析　显然l2的斜率存在且为1,又因为两直线垂直,所以l1的斜率为-1,即-=-1,解得a=1。 (2)△ABC的三个顶点分别为A(2,0),B(4,4),C(0,3),求: ①AC边所在直线的方程; ②AC边的垂直平分线DE所在直线的方程。 解　①直线AC的斜率为k=-,由点斜式得直线方程为y-0=-(x-2),即3x+2y-6=0。 ②由①知,直线AC的斜率为k=-,因为AC⊥DE,所以直线DE的斜率为,线段AC的中点坐标为,由点斜式可得直线DE的方程为y-=(x-1),即4x-6y+5=0。 　　判断两直线垂直的方法:(1)若所给的直线方程都是一般式方程,则运用条件:l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0判断。(2)若所给的直线方程都是斜截式方程,则运用条件:l1⊥l2⇔k1·k2=-1判断。(3)若所给的直线方程不是以上两种情形,则把直线方程化为一般式再判断。 【变式训练】　(1)已知直线l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0垂直,则k的值是 (C) A.1或3 B.1或5 C.1或4 D.1或2 解析　由l1⊥l2得2(k-3)2-2(5-k)=0,整理得k2-5k+4=0,解得k=1或k=4。 (2)过点(1,0)且与直线l1:x-2y-2=0垂直的直线l2的方程是 2x+y-2=0 。  解析　设直线l2的方程为2x+y+c2=0,因为直线l2