第1章 1.3 第3课时 直线方程的一般式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

第3课时　直线方程的一般式 情境导入 课程标准 　　前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程,可以发现它们都是二元一次方程。那么 1.任何一个二元一次方程是否都表示直线? 2.任何直线方程都能表示为一般式吗? 1.掌握直线的一般式方程。 2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)都表示直线。 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化。 自主预习明新知 直线的一般式方程 定义:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不全为0),表示的是一条直线,称它为直线方程的一般式。 微思考 1.方程y-y0=0是二元一次方程吗? 提示:是,因为此时方程中x的系数为0。 2.直线与二元一次方程的关系是什么? 提示:直线的方程都可以化为二元一次方程;关于x,y的二元一次方程都表示一条直线。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线的一般式方程 　　【例1】　根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式。 (1)斜率是-,经过点A(8,-2); (2)经过点B(4,2),平行于x轴; (3)在x轴和y轴上的截距分别是,-3; (4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4)。 解　(1)由点斜式得y-(-2)=-(x-8),即x+2y-4=0。 (2)由斜截式得y=2,即y-2=0。 (3)由截距式得+=1,即2x-y-3=0。 (4)由两点式得=,即x+y-1=0。 　　求直线方程时,可先选择适当的形式求出直线方程,最后一般都要化为一般式方程。 【变式训练】　根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程。 (1)斜率是且经过点A(5,3); (2)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (3)在x,y轴上的截距分别是-3,-1。 解　(1)由点斜式方程得y-3=(x-5),整理得x-y+3-5=0。 (2)由两点式方程得=,整理得2x+y-3=0。 (3)由截距式方程得+=1,整理得x+3y+3=0。 类型二　直线方程的应用 　　命题方向1:镜面反射问题 　　【例2】　一条光线从点A(2,4)射出,倾斜角为60°,遇x轴后反射,则反射光线的直线方程为 (C) A.x-y+4-2=0 B.x-y-2-4=0 C.x+y+4-2=0 D.x+y-2-4=0 解析　因入射光线与反射光线关于x轴对称,所以反射光线经过点(2,-4),倾斜角为120°,其反射光线所在直线的方程是y-(-4)=-(x-2),即x+y-2+4=0,故选C。 　　本题利用了入射光线与反射光线关于镜面对称的原理求解。 【变式训练】　把本例中的条件变为“一条光线从点A(2,4)射出,遇x轴后反射,反射光线经过点B(5,2)”,试求反射光线的直线方程。 解　点A(2,4)关于x轴的对称点A'(2,-4),由镜面反射原理,点A'在反射光线的反向延长线上,又因为kA'B==2,所以反射光线的直线方程为y-2=2(x-5),即2x-y-8=0。 　　命题方向2:含参数的直线方程问题 　　【例3】　(1)设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),若直线l的斜率为-1,则k= 5 ;若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0,则k= 1 。  解析　因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为y=-x+2,由题意得-=-1,解得k=5。直线l的方程可化为+=1,由题意得k-3+2=0,解得k=1。 (2)过点P(-3,0)做直线(a+2b)x-(a+b)y-3a-4b=0(a,b不同时为零)的垂线,垂足为M,已知点N(2,3),则|MN|的取值范围是 [5-,5+] 。  解析　直线(a+2b)x-(a+b)y-3a-4b=0(a,b不同时为零)化为a(x-y-3)+b(2x-y-4)=0, 令解得所以直线(a+2b)x-(a+b)y-3a-4b=0过定点Q(1,-2)。所以点M在以PQ为直径的圆上,圆心为线段PQ的中点C(-1,-1),半径r==。所以线段MN长度的最大值为|CN|+r=+=5+,线段MN长度的最小值为|CN|-r=-=5-。即|MN|∈[5-,5+]。 　　(1)求解第(1)题第2个参数时,也可以分别令x=0,y=0,得到直线l在y轴、x轴上的截距,再求k的值。(2)第(2)题充分利用圆的定义及几何性质求线段MN长度的取值范围。 【变式训练】　设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别确定m的值: (1)l在x轴上的截距是-3; (2)l的斜率是-1。 解　(1)当直线在x轴上的截距为-3时,有=-3,且m2-2m-3≠0,解得m=-。 (2)当斜率为-1时,有-=-1,且2m2+m-1≠0,解得m=-2。 当堂检测提素养