第1章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 情境导入 课程标准 　　观察如图的翘翘板,则 1.翘翘板所在直线过定点吗? 2.翘翘板的方向对应哪个几何要素? 3.如何确定翘翘板某时刻所在的直线方程? 根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的点斜式方程。 自主预习明新知 1.直线的点斜式方程和斜截式方程 点斜式 斜截式 已知 条件 经过点P(x0,y0)且斜率为k 斜率为k,直线l在y轴上的截距为b 图示 方程 形式 y-y0=k(x-x0) y=kx+b 适用 条件 斜率存在 2.直线在y轴上的截距 方程y=kx+b中的b为直线l在y轴上的截距。 符号:可正,可负,也可为零。 微思考 1.利用点斜式表示直线方程的前提是什么? 提示:直线的斜率存在。 2.直线的斜截式方程y=kx+b中,k和b的几何意义是什么?截距是距离吗? 提示:k是直线的斜率;b是直线在y轴上的截距,直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标。截距是实数而不是距离。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线的点斜式方程 　　【例1】　若直线l过点(2,1),分别求l满足下列条件时的直线方程; (1)倾斜角为135°; (2)平行于x轴; (3)平行于y轴; (4)过原点。 解　(1)直线的斜率k=tan 135°=-1,所以由点斜式方程得y-1=-1×(x-2)。 (2)平行于x轴的直线的斜率k=0,故所求的直线方程为y=1。 (3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x=2。 (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k=,故所求的直线方程为y=x。 　　已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标,均可用直线的点斜式方程表示,直线的点斜式方程应在直线斜率存在的条件下使用,当直线的斜率不存在时,直线方程为x=x0。 【变式训练】　(1)已知直线的方程是y+2=-x-1,则 (C) A.直线经过点(-1,2),斜率为-1 B.直线经过点(2,-1),斜率为-1 C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1 D.直线经过点(-2,-1),斜率为1 解析　直线方程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)],故直线经过点(-1,-2),斜率为-1。 (2)经过点P(2,-3),且倾斜角为45°的直线方程为 (D) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y+5=0 D.x-y-5=0 解析　倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°=1,又该直线经过点P(2,-3),所以用点斜式求得直线的方程为y+3=x-2,即x-y-5=0。 (3)与直线3x-2y=0的斜率相等,且过点(-4,3)的直线方程为 (C) A.y-3=-(x+4) B.y+3=(x-4) C.y-3=(x+4) D.y+3=-(x-4) 解析　由直线3x-2y=0得y-0=(x-0),则斜率k=,从而所求直线的斜率也为。又所求直线过点(-4,3),所以依据点斜式方程可得y-3=[x-(-4)]=(x+4)。 类型二　直线的斜截式方程 　　【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程: (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)在y轴上的截距为-6,且与y轴夹角为60°; (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3。 解　(1)由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为y=2x+5。 (2)与y轴相交夹角为60°的直线倾斜角为30°或150°,所以斜率k为tan 30°或tan 150°,即k=±,故所求直线的斜截式方程为y=±x-6。 (3)因为直线的倾斜角为60°,所以斜率k=tan 60°=。因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3,故所求直线的斜截式方程为y=x+3或y=x-3。 　　斜截式方程的特点及应用:(1)若能求得直线的斜率,且直线在y轴上的截距已知,可选用直线的斜截式方程直接求解直线方程。(2)根据k,b的正负判断斜率和截距的几何意义时,k>0⇔直线呈上升趋势;k<0⇔直线呈下降趋势;k=0⇔直线呈水平状态。b>0⇔直线与y轴的交点在x轴上方;b<0⇔直线与y轴的交点在x轴下方;b=0⇔直线过原点。 【变式训练】　(1)直线y=2x-3在y轴上的截距是 (D) A.3 B.2 C.-2 D.-3 解析　对于直线y=2x-3,当x=0时,y=-3,因此直线y=2x-3在y轴上的截距为-3。 (2)一条直线过点A(0,2),它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的方程是 (B) A.y=x+2 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=x-2 解析　所求直线斜率为,过点A(0,2),则点斜式方程为y-2=(x-0),即y=x+