课时达标检测8 空间中的平面与空间向量-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

课时达标检测(八)　空间中的平面与空间向量 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是 (B) A.(1,-1,1) B. C. D. 解析　对于B,=,则n·=3×(-1)+1×4+2×=0,所以n⊥,则点P在平面α内。 2.若n1,n2分别是平面α,β的法向量,且α⊥β,n1=(1,2,x),n2=(x,x+1,x),则x的值为 (B) A.1或2 B.-1或-2 C.-1 D.-2 解析　由题意可知,n1·n2=(1,2,x)·(x,x+1,x)=x+2x+2+x2=x2+3x+2=0,解得x=-1或x=-2。 3.已知∠ABC=90°,BC∥平面α,AB与平面α斜交,那么∠ABC在平面α内的射影是 (B) A.锐角 B.直角 C.锐角或直角 D.锐角或直角或钝角 解析　设B,C在平面α内的射影分别为B',C',则BB'C'C为矩形,BC∥B'C',所以B'C'⊥AB,由三垂线定理B'C'⊥AB',故选B。 4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是 (D) A. B. C. D. 解析　=(-1,1,0),=(-1,0,1)。设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)。因为所以令x=1,则y=1,z=1,所以n=(1,1,1),单位法向量为±=±,,。 5.在平面ABCD中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若a=(-1,y,z),且a为平面ABCD的法向量,则y2= (C) A.2 B.0 C.1 D.无意义 解析　由已知,得=(1,1,0),=(-1,-1,-2),所以解得y=1,即y2=1。 6.如图所示,在三棱锥P⁃ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,点G是点P在平面ABC内的射影,则点G是△ABC的 (C) A.内心　　　　B.外心 C.垂心　　　　D.重心 解析　连接AG,BG,则AG,BG分别为AP,BP在平面ABC内的射影。因为PA⊥BC,所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC,同理,BG⊥AC,所以点G是△ABC的垂心。故选C。 二、多项选择题 7.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使l∥平面α的是 (BD) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,-2,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析　若l∥α,则a·n=0。而A中a·n=-2;B中a·n=1+(-6)+5=0;C中a·n=-1;D中a·n=-3+3=0。故选BD。 8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1)。下列结论正确的是 (AC) A.AP⊥AB B.AP∥AD C.是平面ABCD的法向量 D.∥ 解析　·=-1×2+2×(-1)+(-1)×(-4)=0,所以AP⊥AB,A正确。·=-1×4+2×2+(-1)×0=0,所以AP⊥AD,B不正确。又因为AB∩AD=A,所以AP⊥平面ABCD,即是平面ABCD的一个法向量,C正确。D不正确。 三、填空题 9.由向量a=(1,0,2),b=(0,2,1)确定的平面的一个法向量为n=(x,y,z),则向量c=(1,,2)在n上的投影c'的数量是 -1 。  解析　由n是a,b所确定的平面的一个法向量,知不妨设z=2,可解得x=-4,y=-1,所以n=(-4,-1,2),所以c在n上的投影c'的数量为|c|cos<n,c>==-1。 10.如图所示,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE= a或2a 。  解析　以B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,0,3a),D,,3a,C(0,a,0)。设E(a,0,z)(0≤z≤3a),则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a)。由题意得2a2+z2-3az=0,解得z=a或z=2a。故AE=a或2a。 11.如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是 垂直 ,直线NO与平面AA1D1D的位置关系是 平行 。  解析　建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),=(-1,0,-2),=(-2,0,1),因为·=0,所以直线