1.2.4 二面角 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

1.2.4　二面角 情境导入 课程标准 　　 在“神八”与“天宫1号”对接的过程中,根据需要,必须使它们飞行的轨道平面与地球赤道平面成一定的角度;在修筑水坝时,也必须使水坝面与水平面成适当的角度,才能使水坝坚固耐用。关于面与面所成的角,正是我们这一节学习的内容。 理解二面角和二面角的平面角的概念,会用向量的方法求二面角。 自主预习明新知 　 知识点一、二面角及其度量 1.二面角的定义。 平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每一部分都称为一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面。 2.二面角的表示。 棱为l,两个面分别为α,β的二面角,记作二面角α⁃l⁃β。如图所示,若A∈α,B∈β,二面角也可以记作二面角A⁃l⁃B。 3.二面角的平面角。 (1)定义:如图所示,在二面角α⁃l⁃β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角。 (2)二面角的取值范围:[0,π]。 (3)直二面角:平面角是直角的二面角称为直二面角。 知识点二、用空间向量求二面角的大小 n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,如图①②所示,则有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,sin θ=sin<n1,n2>。 　 ① ② 微提醒 (1)①二面角是图形,它是由两个半平面和一条棱构成的图形。②两个平面相交,构成四个二面角。③二面角的平面角的大小与任取的O点位置无关。 (2)向量法求二面角的两种思路:①若AB,CD分别是二面角α⁃l⁃β的两个面α,β内与棱l垂直的异面直线,则向量与的夹角就是二面角的平面角。 ②设n1,n2分别是二面角α⁃l⁃β的两个半平面α,β所在平面的法向量,则向量n1与n2的夹角或其补角就是二面角的平面角。 合作探究攻重难 　 类型一　利用定义法求二面角 　　【例1】　如图所示,ABCD是正方形,V是平面ABCD外一点,且VA=VB=VC=AB。求二面角A⁃VB⁃C的余弦值。 解　作AE⊥VB于E,连接EC,由VA=AB可知E是VB的中点,又知VC=BC,故EC⊥VB。所以∠AEC是二面角A⁃VB⁃C的平面角。设AB=a,连接AC,在△AEC中,AE=EC=a,AC=a,由余弦定理可知:cos∠AEC==-,由图知,二面角A⁃VB⁃C的平面角是钝角,所以所求二面角A⁃VB⁃C的余弦值为-。 　　定义法求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角; (2)写出(或证明)所作平面角即为所求二面角的平面角; (3)利用解三角形的知识求解。 【变式训练】　自二面角α⁃l⁃β的棱上一点A在平面β内引一条射线AC,它与棱l成45°角,和平面α成30°角,则二面角α⁃l⁃β的大小为 45° 。  解析　如图所示,在射线AC上取一点C,作CD⊥平面α,在α内作DB⊥AB,垂足为B,连接BC。由三垂线定理知BC⊥AB,则∠CBD为二面角α⁃l⁃β的平面角。 设CD=a,又∠CAD为AC与平面α所成的角,即∠CAD=30°,所以AC=2a。又∠CAB=45°,所以BC=a。在Rt△CDB中,sin∠CBD==,所以∠CBD=45°,即二面角α⁃l⁃β为45°。 类型二　利用三垂线定理及其逆定理求二面角 【例2】　如图,S是△ABC所在平面外一点,且SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB,SB=BC,E是SC的中点,DE⊥SC交AC于D,求二面角E⁃BD⁃C的大小。 解　因为SB=BC,E为SC的中点,所以SC⊥BE。由题设知,SC⊥ED,且ED∩EB=E,所以SC⊥平面BDE,所以SC⊥BD。又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BD。所以BD⊥平面SAC。所以∠EDC为二面角E⁃BD⁃C的平面角。设SA=a,则SB=a。又因为AB⊥BC,由三垂线定理,知SB⊥BC,所以SC=2a,在Rt△SAC中,因为SA=a,SC=2a,所以∠SCA=30°。故∠EDC=60°,即二面角E⁃BD⁃C的大小为60°。 　　用三垂线定理及其逆定理求二面角 (1)一个面内找一个特殊点作另一个面的垂线,过垂足作棱的垂线(或过这个特殊点作棱的垂线,连接两个垂足),连接这个点和垂足,根据三垂线定理(或其逆定理)得平面角,再求二面角; (2)利用公式cos θ=求锐二面角。 【变式训练】　已知在三棱锥P⁃ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC。则二面角B⁃AP⁃C的大小为 arccos 。  解析　如图,过点B作BE⊥AC于点E,连接PE,因为PC⊥平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC。所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影。设PC=1,则PA=PB=,AB=1,所以△