1.2.2 空间中的平面与空间向量 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

1.2.2　空间中的平面与空间向量 情境导入 课程标准 　　牌楼,与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造。 旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种,多设于要道口。牌楼中有一种柱门形结构,一般较高大。如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢? 1.理解平面法向量的定义,会求平面的法向量,并能利用平面法向量证明线面的平行与垂直。 2.理解并应用三垂线定理及逆定理证明线面或线线的垂直。 自主预习明新知 　 知识点一、平面的法向量 1.定义。 如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量。此时,也称n与平面α垂直,记作n⊥α。 2.性质。 (1)如果直线l垂直平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量; (2)如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λn也是平面α的一个法向量,而且平面α的任意两个法向量都平行; (3)如果n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则对于平面α上任意一点B,向量一定与向量n垂直,即·n=0,从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定。 3.利用法向量判断线面、面面的平行或垂直。 (1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则有:n∥v⇔l⊥α;n⊥v⇔l∥α,或l⊂α。 (2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则有:n1⊥n2⇔α1⊥α2;n1∥n2⇔α1∥α2,或α1与α2重合。 知识点二、三垂线定理及其逆定理 三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 微提醒 定理中的已知直线必须是已知平面内的直线。三垂线定理及其逆定理主要解决异面直线垂直问题。 微思考 零向量能作为直线的方向向量和平面的法向量吗? 提示:零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量,这是因为直线的方向向量与平面的法向量分别用来描述空间直线和平面的位置,而零向量的方向是任意的,无法用零向量来描述空间直线与平面的位置。 合作探究攻重难 　 类型一　求平面的法向量 　　【例1】　四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量。 解　因为AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,所以以A为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),所以=(1,0,0)是平面SAB的法向量。设平面SCD的法向量为n=(1,y,z),则n·=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0,所以y=-。又n·=(1,y,z)·(-1,0,2)=-1+2z=0,所以z=。所以n=即为平面SCD的一个法向量。 　　求一个平面的法向量的方法一般有两种:一是几何法,利用几何条件找出一条与平面垂直的直线,在其上取一条有向线段(或特殊的方向向量)即可;二是代数法,借助建立空间直角坐标系,利用待定系数法求解,步骤如下: (1)设平面的法向量为n=(x,y,z)。 (2)找出(求出)平面内两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)。 (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组即 　　(4)解方程组:先用一个未知量表示其他两个未知量,然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值,从而得到平面的一个法向量。 注意:n≠0。 　　【变式训练】　已知平面α经过A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)三点,求平面α的一个法向量。 解　由已知得=(1,-2,-4),=(1,-2,1),设平面α的一个法向量为n=(x,y,z),则有解得z=0,令x=2,则y=1,所以平面α的一个法向量为n=(2,1,0)。 类型二　利用向量法证明平行、垂直问题 　　命题方向1:证明平行问题 【例2】　如图所示,在四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点P,M和N分别为CC1,B1C和D1D的中点。求证: (1)MN∥平面ABCD; (2)平面PMN∥平面ABCD。 证明　如图所示,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(0,1,2),D1(1,-2,2)。 因为M,N分别为B1C,D1D的中点,所以M,N(1,-