1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 情境导入 课程标准 　　我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素。因此,为了用空间向量解决立体几何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面,正是我们这一节学习的内容。 1.理解直线的方向向量,会用向量方法证明线线平行。 2.会用向量运算证线线垂直,会求两直线所成的角。 自主预习明新知 　 知识点一、空间中的点、直线与空间向量 1.空间中的点与空间向量。 一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,通常称为点P的位置向量。特别地,空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定,从而也就由它的坐标唯一确定。 2.空间中的直线与空间向量。 (1)定义:一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量。此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l。 (2)性质:①如果A,B是直线l上两个不同的点,则v=就是直线l的一个方向向量; ②如果v是直线l的一个方向向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λv也是直线l的一个方向向量,而且有线l的任意两个方向向量都平行; ③如果v为直线l的一个方向向量,A为直线l上一个已知的点,则对于直线l上任意一点B,向量一定与非零向量v平行,从而可知存在唯一的实数λ,使得=λv,这就是说,空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定; ④如果v1是直线l1的一个方向向量,v2是直线l2的一个方向向量,则v1∥v2⇔l1∥l2,或l1与l2重合。 知识点二、空间中两条直线所成的角 设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>。特别地,sin θ=sin<v1,v2>,cos θ=|cos<v1,v2>|。而且l1⊥l2⇔<v1,v2>=。 ①　② 知识点三、异面直线与空间向量 1.异面直线的判定。 设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量。如图所示,如果A∈l1,B∈l2:则l1与l2异面时,可知v1,v2,是不共面的;反之,如果v1,v2,不共面,则l1与l2是异面的。 ①　② 2.公垂线段的定义。 一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1与l2的公垂线段。两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离。 微提醒 (1)在已知的两条直线上(或同方向上)分别取这两条直线的方向向量v1,v2,则cos<v1,v2>=。但要注意,两直线的夹角与<v1,v2>并不完全相同,当<v1,v2>为锐角、直角或零角时,θ=<v1,v2>;当<v1,v2>为钝角时,θ=π-<v1,v2>。 (2)两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]。 微思考 (1)一条直线的方向向量是否有且只有一个? (2)利用待定系数法求出的公垂线段是否唯一? 提示:(1)如果v是直线l的一个方向向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λv也是直线l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量都平行,所以,一条直线的方向向量有无数个。 (2)唯一。利用待定系数法求公垂线段时,由于方程组有且只有一组解,因此两条异面直线的公垂线段有且只有一条。 合作探究攻重难 　 类型一　求空间中点的坐标 　　【例1】　已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,以的方向为正向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: ①AP∶PB=1∶2; ②AQ∶QB=2∶1。 求点P和点Q的坐标。 解　①由已知,得=2,即-=2(-),=+。设点P的坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示,得(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3),即x=+=,y=+1=,z=0+1=1。因此,P点的坐标是。②因为AQ∶QB=2∶1,所以=-2,即-=-2(-),=-+2。设点Q的坐标为(x',y',z'),则上式换用坐标表示,得(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'=6。因此,Q点的坐标是(0,2,6)。 　　确定空间中的点的位置,即把已知条件转化为向量关系,从而得到要求点的坐标。 【变式训练】　已知O为坐标原点,如图,四面体OABC中,A(0,3,5),B(1,2,0),C(0,5,0),直线AD∥BC,并且AD交坐标平面xOz于点D,则点D的坐标为 (1,0,5) 。  解析　因为D∈平面xOz,设D(x,0,z),则=(x,-3,z-5),=(-1,3,0),因为AD∥BC,所以=λ,所