1.1.3 第2课时 空间直角坐标系 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

第2课时　空间直角坐标系 情境导入 课程标准 　　 一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的路,抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石。这三个力分别为F1,F2,F3,它们两两垂直,且|F1|=3 000 N,|F2|=2 000 N,|F3|=2 000 N。若以F1,F2,F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则巨石所受合力F的坐标是什么? 1.掌握空间向量的坐标运算法则,会判断两个向量的平行或垂直。 2.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标。 3.掌握空间直角坐标系中两点之间的距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题。 自主预习明新知 　 知识点一、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 (1)a∥b(a≠0)⇔b=λa⇔,当a的每一个坐标分量都不为零时,有a∥b⇔==。 (2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0。 知识点二、空间直角坐标系 1.定义:在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy,然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴。这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz。 2.坐标平面:在空间直角坐标系Oxyz中,x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴;通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面。z轴的正方向一般按照如下方式确定:在z轴的正半轴看xOy平面,x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合。 3.空间中点的坐标:空间直角坐标系Oxyz中,设M为空间中的一个点,过M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面,设这些平面与x轴、y轴、z轴依次交于点P,Q,R,且P,Q,R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x,y,z,那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z),二者有了一一对应关系,空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z)。此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标)。 4.卦限:空间中建立了空间直角坐标系之后,三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分,如图所示。习惯上,每一部分都称为一个卦限,按逆时针方向,在坐标平面xOy的上方,分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限;在xOy的下方,分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限。 知识点三、空间向量坐标的应用 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则 (1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1); (2)AB=||=; (3)设线段AB的中点为M(x,y,z),则M的坐标为。 微提醒 (1)若a∥b,则当b=(b1,b2,b3)的横、纵、竖坐标中有一个或两个是零时,由“a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3”,可得a=(a1,a2,a3)的相应坐标也为零。 (2)特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示 点的位置 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面 坐标表示 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) (3)①空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标。②空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广。动点P(x,y,z)到定点P0(x0,y0,z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2,此方程表示以点P0为球心,以r为半径的球面。 合作探究攻重难 　 类型一　空间向量的平行与垂直问题 　　【例1】　设向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值。 (1)a∥b;(2)a⊥b。 解　(1)①当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,满足a∥b。②当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不满足a∥b,所以x≠1。③当x≠0,x≠1时,由a∥b⇔==⇔⇔x=2。综上所述,当x=0或x=2时,a∥b。 (2)a⊥b⇔a·b=0,所以(1,x,1-x)·(1-x2,-3x,x+1)=0⇔1-x2-3x2+1-x2=0,解得x=±。所以当x=±时,a⊥b。 　　要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算。在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论。 【变式训练】　对于空间向量a=(1,2,3),b=(λ,4,6