1.1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标及运算 情境导入 课程标准 　　我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法……。” 几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算。 1.了解空间向量坐标的定义。 2.掌握空间向量的坐标运算。 3.会计算向量的长度及两向量的夹角。 自主预习明新知 　 知识点一、空间中向量的坐标 1.单位正交分解。 一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解。 2.空间中向量的坐标。 空间中任意一个向量p,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量。 知识点二、空间向量的运算与坐标的关系 空间中两个向量a,b满足a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)。 (1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2); (2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2); (3)ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2,uz1+vz2)(u,v为实数); (4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2; (5)|a|==,|b|==; (6)cos<a,b>==(a≠0且b≠0)。 微提醒 单位正交基底之间的数量积 (1)因为e1,e2,e3互相垂直,所以e1·e2=0,e1·e3=0,e2·e3=0。 (2)因为e1,e2,e3为单位向量,所以e1·e1=1,e2·e2=1,e3·e3=1。 微思考 求空间两向量的夹角的步骤是怎样的? 提示:(1)求a·b;(2)分别求|a|,|b|;(3)计算cos<a,b>的值;(4)确定<a,b>。 合作探究攻重难 　 类型一　空间向量的坐标表示 　　【例1】　如图,在棱长为1的正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,E,F,G分别为棱DD',D'C',BC的中点,以{,,}为基底,求下列向量的坐标。 (1),,; (2),,。 解　(1)=+=+=+=,=+=+=, =++=++=。 (2)=-=-+=+=,=-=-=--=,=-=+-=-=。 　　【互动探究】　本例中,若以{,,}为基底,试写出,,的坐标。 解　=+=-+=,=+=+=-+= ,=+=。 　　空间向量坐标表示的注意点 (1)空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若基底为{e1,e2,e3},b=λe1+μe2+ke3,则b的坐标为(λ,μ,k)。 (2)向量的坐标与点的坐标表示方法不同,如向量a=(x,y,z),点A(x,y,z)。 【变式训练】　设{e1,e2,e3}是空间向量的一组单位正交基底,a=4e1-8e2+3e3,b=-2e1-3e2+7e3,则a,b的坐标分别为 (4,-8,3) 、 (-2,-3,7) 。  解析　由于{e1,e2,e3}是空间向量的一组单位正交基底,所以a=(4,-8,3),b=(-2,-3,7)。 类型二　空间向量的坐标运算 　　【例2】　已知向量a=(2,-1,2),b=(3,-4,0),试求: (1)2a-3b; (2)a·(-b); (3)(2a-3b)·(2a+3b); (4)cos<a,b>。 解　(1)2a-3b=(4,-2,4)-(9,-12,0)=(-5,10,4)。 (2)a·(-b)=(2,-1,2)·(-3,4,0)=2×(-3)+(-1)×4+2×0=-10。 (3)(2a-3b)·(2a+3b)=(2a)2-(3b)2=4|a|2-9|b|2=4×9-9×25=-189。 (4)|a|==3,|b|==5。cos<a,b>===。 　　关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题。 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算。 (2)由条件求向量的坐标或参数值。 首先把向量坐标形式表示出来,然后通过空间向量坐标运算公式求出其坐标或参数值。 【变式训练】　设向量a=(1,-2,2),b=(-3,x,4),已知a在b上的投影的数量为1,则x= 0 。  解析　因为a在b上的投影的数量为1,所以|a|·cos<a,b>=1,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=|b|,所以-3-2x+8=>0,解得x=0或x=。又因为-3-2x+8>0,所以x<,所以x=0。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.已知向量a=(