1.1.2 第1课时 共线向量与共面向量定理 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

1.1.2　空间向量基本定理 第1课时　共线向量与共面向量定理 情境导入 课程标准 　　 “道生一,一生二,二生三,三生万物”这句话出自老子《道德经》,它表示“道”生万物从少到多,从简单到复杂的一个过程。 联系到我们学过的平面向量基本定理,可以概括为给出一个二维的基底可以生成平面中所有的向量;推广到三维空间,给出一个三维的基底可以生成空间中的所有向量。 1.了解共线(平行)向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法。 2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论,并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题。 自主预习明新知 　 知识点一、共线向量定理 两个空间向量a,b,a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa。 知识点二、共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb。 微提醒 (1)空间任意两个向量a,b(b≠0),共线向量定理可分解为以下两个命题:①a∥b⇒存在唯一实数x使a=xb。②存在唯一实数x,使a=xb⇒a∥b。 (2)共面向量定理的理解:①共面向量定理就是平面向量基本定理,是共线向量定理由一维空间向二维空间的拓展。②共面向量定理可解决空间四点共面等问题。 合作探究攻重难 　 类型一　共线向量定理的应用 　　【例1】　如图所示,正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O为A1C上一点,且=,BD与AC交于点M。求证:C1,O,M三点共线。 证明　连接AO,AC1,A1C1。如图所示。 因为=,所以=+=+=+(+)=+。因为=2,=+=-=-2,所以=(-2)+=+。又+=1,故C1,O,M三点共线。 　　证明(或判断)A,B,C三点共线,只需证明存在实数λ,使=λ即可。也可用“对空间任意一点O,有=t+(1-t)”来证明三点共线。证明三点共线时,关键是利用向量的线性运算将相关向量线性表示。 【变式训练】　已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为 0 。  　　解析　因为A,B,C三点共线,所以存在唯一实数k,使=k,即-=k(-),所以(k-1)+-k=0。又λ+m+n=0,所以λ=k-1,m=1,n=-k,则λ+m+n=0。 类型二　共面向量定理的应用 【例2】　如图所示,设E,F分别为AB,CD的中点,求证:与,共面。 证明　由题意知,=++　①,且=++　②。因为E,F分别为AB,CD的中点,所以=-,=-,所以①+②得2=+,即=+,所以与,共面。 　　(1)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示。 (2)若已知点P在平面ABC内,则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数。 【变式训练】　在下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是 (C) A.=3-2- B.+++=0 C.++=0 D.=-+ 解析　C选项中,因为++=0,所以=--,所以M与A,B,C必共面。故选C。 当堂检测提素养 　 1.下列命题中正确的是 (C) A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线 B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb 解析　A中,若b=0,则a与c不一定共线;B中,共面向量的定义是平行于同一平面的向量,所以表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面;D中,若b=0,a≠0,则不存在λ。 2.AM是△ABC中BC边上的中线,设=e1,=e2,则为 (D) A.e1+e2 B.e1-e2 C.e1-e2 D.e1+e2 解析　因为AM为△ABC中BC边上的中线,所以2=+=e1+e2,所以=e1+e2。故选D。 3.O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点 (B) A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.无法判断 解析　因为=++,且++=1,所以P,A,B,C四点共面。 4.已知向量a,b不共线,p=ka+b,q=a-k2b,若p,q共线,则k的值为 -1 。  解析　若p与q共线,则存在唯一实数λ,使得p=λq,即ka+b=λa-λk2b。所以⇒k=-1。 5.已知A,B,C三点不共线,点M满足=++。 (1)判断,,三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内。 解　(1)由题意得++=3,所以-=(-)+(-),所以=+=--。所以向量,,共面。 (2)因为向量,,共面,且三个向量的起点相同,所以M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内。 学科网（北京）股份有限公司 $