1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

　　▶导语:通过本章的学习,可以帮助我们在学习过的平面向量的基础上,利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用,体会平面向量和空间向量的共性和差异;运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系,体会向量方法和几何方法的共性和差异;运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题,感悟向量是研究几何问题的有效工具;进一步发展数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。 要点精准概括 11个重要概念:空间向量,零向量,单位向量,相等向量,相反向量,共线(平行)向量,共面向量,直线的方向向量,平面的法向量,点到直线的距离,点到平面的距离 5种重要运算:加法运算,减法运算,数乘运算,数量积运算,坐标运算 3种方法:坐标法,基底法,几何法 2类重要应用:证明空间中的平行、垂直关系,研究空间中的夹角与距离问题 第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 情境导入 课程标准 　　 如图展示的是一个做滑翔伞运动的场景,可以想象在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向大小各异的力,你能用图示法表示这些力吗?能对这些力进行力的合成吗?这就是本节我们学习的空间向量及其线性运算。 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示法和字母表示法。 2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。 自主预习明新知 　 知识点一、空间向量的概念 1.空间中,既有大小又有方向的量称为空间向量(简称为向量)。 2.与平面向量一样,空间向量也是用有向线段来表示。 3.大小相等、方向相同的向量称为相等的向量。 4.始点和终点相同的向量叫做零向量,记作0。 5.表示向量a的有向线段的长度叫做向量的模或长度,用|a|或||表示。 6.方向相同或相反的两个非零向量互相平行,通常规定零向量与任意向量平行。 7.一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在同一平面内,则称这些向量共面;否则,称这些向量不共面。 知识点二、空间向量的线性运算 在空间中任取一点O,作=a,=b。 1.加法:a+b=。 2.减法:a-b=。 3.数乘向量:当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向: 当λ>0时,与a的方向相同; 当λ<0时,与a的方向相反。 当λ=0或a=0时,λa为零向量。 4.空间向量的运算律。 (1)加法交换律:a+b=b+a; (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c); (3)分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb。 微提醒 (1)平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则,对空间向量也同样成立。 (2)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。 微思考 空间向量与平面向量有何异同? 提示:(1)所处范围:平面向量的范围是在同一个平面的范围内,而空间向量则是在空间的范围内。 (2)是否共面:平面向量中的所有向量都是共面的,而空间中,任意两个向量都是共面的,三个向量则有可能是不共面的,如图所示。 (3)性质推广:平面向量的所有性质在空间中仍然成立,空间向量的有关问题通常转化为平面向量来解决。 合作探究攻重难 　 类型一　空间向量的概念 　　【例1】　给出下列命题: ①两个相等的向量,若它们的起点相同,则终点必相同; ②在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,必有=; ③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p; ④空间中任意两个单位向量必相等。 其中假命题的个数是 (A) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　①真命题。根据向量相等的定义,两个相等的向量若起点相同,终点必相同,只有这样才能保证它们的方向和大小都相同。②真命题。根据正方体的性质,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,向量与的方向相同,模长也相等,应有=。③真命题。向量的相等满足递推规律。④假命题。空间中任意两个单位向量模长均为1,但方向不一定相同,故不一定相等。 　　(1)因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上,故两个空间向量间的关系可以转化为平面向量来解决。 对于有关向量基本概念的考查,可以从概念的特征入手,也可以通过举出反例来排除或否定相关命题。 (2)在空间中,单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面内相对应的概念完全一样。 【变式训练】　下列命题是真命题的序号是 ④ 。  ①在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,与这两个向量不是共线向量; ②若向量a与b平行,则a,b的方向相同或相反; ③若向量,满足||>||,且与同向,则>; ④若向量a=b,则|a|=|b|。 解析　①因为AB与CD平行,所以与这两个向量是共线向量;②若向量a=0,则a与b平行,但是不能说零向量与某一向量