专题08 二次函数与幂函数-2024年新高考数学高频考点+重点题型讲练测

专题08二次函数及幂函数 1、 核心体系 二、关键能力 通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 三、教学建议 幂函数的教学中，只要求了解幂函数的概念，并结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3， 的图象，了解它们的单调性和奇偶性。 二次函数的教学中，方程实根分布问题，重点在于培养学生使用图象来解决方程根的问题的思想方法，这里的借助图象来控制根的分布的思想，是相对于初中用判别式和求根公式等代数办法而言，重点在于对借助图象能力的培养，而不在于背诵记忆若干根的分布的几大类型公式等。 四、高频考点 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 [提醒] 二次函数的图像、单调性、最值与以下四点有关 （1）抛物线的开口方向（2）对称轴（3）给定区间的范围有关（4）判别式 五、重点题型 考点一、幂函数与二次函数的解析式 例1.（1）已知幂函数的图象过点和，则实数m的值为（ ） A． B． C．3 D． （2）已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是 题组训练 1.已知点在幂函数的图像上，则（ ） A． B． C． D． 2.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一个零点，－1是f(x)的一个极小值点，那么不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－4,2) B．(－2,4) C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞) 3.（2021全国甲卷理）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 4．（2020江苏7）已知是奇函数，当时，，则的值是 ． 考点二、幂函数的图像与性质 例2（1）幂函数y=f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(　　) A.偶函数，且在区间(0，+∞)内是增函数 B.偶函数，且在区间(0，+∞)内是减函数 C.奇函数，且在区间(0，+∞)内是减函数 D.非奇非偶函数，且在区间(0，+∞)内是增函数 （2）在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=xa(x>0)，g(x)=logax的图象可能是(　　) 题组训练 1.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ） A． B．1 C． D．或1 2．(上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________． 3.函数 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 考点三、幂值的比较大小 例3．（2021·江苏南通）设，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 对点训练 1．已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2.（多选题）已知等式，，成立，那么下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；其中可能成立的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（5） C．（3）（4） D．（4）（5） 考点四、二次函数图像与性质 例4.（1）若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( ) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，2) （2）已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)>f(4)，则(　　) A．a>0