专题4.2 应用导数研究函数的单调性（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题4.2 应用导数研究函数的单调性 【核心素养】 1.以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程相结合，凸显数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养． 2.与函数的图象、曲线方程、导数的几何意义相结合，凸显数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养． 知识点一 利用导数研究函数的单调性 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数． 在上为减函数． 知识点二 利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间． 知识点三 特别提醒 (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． (2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立． 常考题型剖析 题型一：判断或证明已知函数的单调性 【典例分析】 例1-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，若在处的切线恰好与轴平行，判断此时的单调性. 例1-2.（2023·全国·高三专题练习）判断函数的单调性． 【规律方法】 1．利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． 2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数. 【变式训练】 变式1-1.（2020·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； 变式1-2.（2016北京高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为， （1）求，的值； （2）求的单调区间. 题型二：判断或证明含参数函数的单调性 例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，讨论的单调性. 例2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.讨论的单调性. 【规律方法】 1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域. 2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根； (2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小． 【变式训练】 变式2-1.（2020·全国高考真题（文））已知函数. （1）当时，讨论的单调性； 2.已知函数，. （Ⅰ）若 ，求的值； （Ⅱ）讨论函数的单调性。 变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，试讨论的单调性. 题型三：求函数的单调区间 【典例分析】 例3-1．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是____；单调递减区间是_____. 例3-2．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则函数的单调递减区间为________. 【方法技巧】 利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 【变式训练】 变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为_____________. 变式3-2. （2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为________. 题型四：利用函数的单调性研究函数图象 【典例分析】 例4-1.（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A． B． C． D． 例4-2．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双J型曲线LOGO，以下4个函数中最能拟合该曲线的是（      ）    A． B． C． D． 【总结提升】 1.函数图象的辨识主要从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图