专题1.4 探索三角形全等的条件（SSS，SAS）（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.4 探索三角形全等的条件（SSS，SAS） （知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【知识点2】全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 【知识点3】 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【考点一】三角形全等➼➻用“边边边”直接证明三角形全等 【例1】如图，已知，，为上任意一点，过点作一条直线分别交，的延长线于点，．求证：． 【分析】先证明得到，再根据内错角相等，两直线平行得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可证得结论． 证明：∵ ， ， ， ． 【点拨】本题考查全等三角形的性质和平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【举一反三】 【变式】已知，如图，，求证： 【分析】连接，证明即可求得答案． 证明：连接，如图所示， ∵，，， ∴， ∴； 【点拨】本题考查了几何问题，正确作出辅助线是解题关键． 【考点二】三角形全等➼➻用“边边边”间接证明三角形全等 【例2】如图所示，AB=AC，BD=CE，AD=AE，求证：△ABE≌△ACD． 分析：根据BD=CE得出BE=CD，然后结合AE=AD，AB=AC利用SSS来判定三角形全等. 解：∵BD=CE，  ∴BD+DE=CE+DE，  ∴BE=CD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SSS） 考点：三角形全等的判定 【举一反三】 【变式】如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，AE=FC．求证：△ABC≌△FDE． 【分析】由AE=FC证得AC=EF，再利用SSS证明△ABC≌△FDE即可. 证明：∵A，E，C，F在同一条直线上，AE=FC， ∴AE+EC=EC+FC， ∴AC=EF， 在△ABC和△FDE中， ∴△ABC≌△FDE（SSS）． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL，根据已知条件选择合适的判定方法是解决问题的关键． 【考点三】三角形全等➼➻全等的性质和“边边边”综合 【例3】如图，与交于点，①；②；③，请以①②③中的两个作为条件，另一个为结论，写出一个正确命题．    (1)正确的命题是：____________________（格式：由××，得×；上述×用前面数字代号①②③表示）． (2)从你写出的正确命题中选一个加以证明． 【答案】(1)由①③，得②；或由②③，得①；(2)见分析． 【分析】分两种情形，利用全等三角形的判定和性质分别证明即可． （1）解：正确的命题是：由①③，得②；或由②③，得①； （2）证明：由①③，得②， 若，， 连接，    在和中， ， ， ； 或由②③，得①， 若，， 在和中， ， ， ，， ． 【点拨】本题考查命题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【举一反三】 【变式1】如图，点E、点F在上，且，，，求证：．    【分析】根据全等三角形的判定得出，推出，利用平行线的判定解答即可． 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】如图，在中，点，点分别在边，边上，连接，． (1) 求证：． (2) 若，求的度数． 【答案】(1) 证明见分析； (2) 【分析】（1）连接，利用定理证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据垂直的定义可得，再根据（1）的结论可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 解：（1）证明：如图，连接， 在和中， ， ， ． （2）解：， ， 由（1）已证：， ， ， ． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、垂直的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 【考点四】三角形全等➼➻用“边角边”直接证明三角形全等 【例4】已知：如右图，． 求证：．    【分析】由，得，再利用即可证得结论． 证明：∵， ∴， 在与中： ， ∴． 【点拨】本题